次の和 $S$ を求めます。 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

2. 解き方の手順

この和は、部分分数分解を利用して解くことができます。各項を以下のように分解します。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$

両辺に $(3n-2)(3n+1)$ を掛けると、

$1 = A(3n+1) + B(3n-2)$

この式がすべての $n$ について成り立つためには、以下の連立方程式を解く必要があります。

$3A + 3B = 0$

$A - 2B = 1$

最初の式より $A = -B$ となります。これを2番目の式に代入すると、

$-B - 2B = 1$

$-3B = 1$

$B = -\frac{1}{3}$

したがって $A = \frac{1}{3}$ となります。

よって、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

したがって、$S$ は、

$S = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

$S = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

$S = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3n+1}\right)$

$S = \frac{1}{3} \left(\frac{3n+1-1}{3n+1}\right)$

$S = \frac{1}{3} \left(\frac{3n}{3n+1}\right)$

$S = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{3n+1}$