問題7は、等差数列に関する問題です。 (1) 第10項が168、第25項が408であるとき、1000が第何項であるかを求める問題です。 (2) 初項から第何項までの和が初めて1000より大きくなるかを求める問題です。

1. 問題の内容

問題7は、等差数列に関する問題です。

(1) 第10項が168、第25項が408であるとき、1000が第何項であるかを求める問題です。

(2) 初項から第何項までの和が初めて1000より大きくなるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおきます。ここで、$a$は初項、$d$は公差、$n$は項の番号です。

第10項が168なので、$a_{10} = a + 9d = 168$。

第25項が408なので、$a_{25} = a + 24d = 408$。

これらの連立方程式を解きます。

$a_{25} - a_{10} = (a + 24d) - (a + 9d) = 15d$

$408 - 168 = 240$

$15d = 240$

$d = \frac{240}{15} = 16$

$a + 9d = 168$に$d = 16$を代入すると、

$a + 9 \times 16 = 168$

$a + 144 = 168$

$a = 168 - 144 = 24$

したがって、初項$a = 24$、公差$d = 16$です。

$a_n = 24 + (n-1)16$

$a_n = 24 + 16n - 16$

$a_n = 16n + 8$

$a_n = 1000$のとき、

$1000 = 16n + 8$

$16n = 1000 - 8$

$16n = 992$

$n = \frac{992}{16} = 62$

したがって、1000は第62項です。

(2)

初項から第n項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$で与えられます。

初項$a = 24$、公差$d = 16$なので、

$S_n = \frac{n}{2}(2 \times 24 + (n-1)16) = \frac{n}{2}(48 + 16n - 16) = \frac{n}{2}(16n + 32) = n(8n + 16) = 8n(n+2)$

$S_n > 1000$となる最小の$n$を求めます。

$8n(n+2) > 1000$

$n(n+2) > \frac{1000}{8} = 125$

$n^2 + 2n > 125$

$n^2 + 2n - 125 > 0$

$n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4 \times 125}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{504}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{126}}{2} = -1 \pm \sqrt{126}$

$n$は自然数なので、$n > -1 + \sqrt{126} \approx -1 + 11.22 \approx 10.22$

$n=11$を試すと、$S_{11} = 8 \times 11 \times (11+2) = 88 \times 13 = 1144 > 1000$

$n=10$を試すと、$S_{10} = 8 \times 10 \times (10+2) = 80 \times 12 = 960 < 1000$

したがって、初めて1000を超えるのは第11項までの和です。

3. 最終的な答え

(1) 62

(2) 11