次の不等式を解きます。 (1) $5x+16 \le 9x-4$ (2) $3(1-2x) \le \frac{1-3x}{2}$ (3) $|x-2| < 4$ (4) $6-5x < 3x-2 < x+10$

代数学不等式一次不等式絶対値不等式
2025/7/18
はい、承知いたしました。与えられた不等式を解きます。

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。
(1) 5x+169x45x+16 \le 9x-4
(2) 3(12x)13x23(1-2x) \le \frac{1-3x}{2}
(3) x2<4|x-2| < 4
(4) 65x<3x2<x+106-5x < 3x-2 < x+10

2. 解き方の手順

(1) 5x+169x45x+16 \le 9x-4
まず、xxの項を右辺に、定数項を左辺に移行します。
16+49x5x16+4 \le 9x-5x
204x20 \le 4x
両辺を4で割ります。
5x5 \le x
よって、x5x \ge 5
(2) 3(12x)13x23(1-2x) \le \frac{1-3x}{2}
両辺に2をかけます。
6(12x)13x6(1-2x) \le 1-3x
612x13x6-12x \le 1-3x
xxの項を右辺に、定数項を左辺に移行します。
613x+12x6-1 \le -3x+12x
59x5 \le 9x
両辺を9で割ります。
59x\frac{5}{9} \le x
よって、x59x \ge \frac{5}{9}
(3) x2<4|x-2| < 4
絶対値の性質から、
4<x2<4-4 < x-2 < 4
各辺に2を加えます。
4+2<x2+2<4+2-4+2 < x-2+2 < 4+2
2<x<6-2 < x < 6
(4) 65x<3x2<x+106-5x < 3x-2 < x+10
この不等式は次の2つの不等式と同値です。
65x<3x26-5x < 3x-2 かつ 3x2<x+103x-2 < x+10
まず、65x<3x26-5x < 3x-2を解きます。
6+2<3x+5x6+2 < 3x+5x
8<8x8 < 8x
1<x1 < x
次に、3x2<x+103x-2 < x+10を解きます。
3xx<10+23x-x < 10+2
2x<122x < 12
x<6x < 6
したがって、1<x<61 < x < 6

3. 最終的な答え

(1) x5x \ge 5
(2) x59x \ge \frac{5}{9}
(3) 2<x<6-2 < x < 6
(4) 1<x<61 < x < 6

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