複素数の割り算 $ \frac{1-j}{1-j\sqrt{3}} $ を計算し、その結果を極形式で表現する問題です。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{1-j}{1-j\sqrt{3}}$ を計算し、その結果を極形式で表現する問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数の分母を実数化します。そのため、分母の共役複素数 $1+j\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1-j}{1-j\sqrt{3}} = \frac{(1-j)(1+j\sqrt{3})}{(1-j\sqrt{3})(1+j\sqrt{3})}$

分子を展開します。

$(1-j)(1+j\sqrt{3}) = 1 + j\sqrt{3} - j - j^2\sqrt{3} = 1 + j\sqrt{3} - j + \sqrt{3} = (1+\sqrt{3}) + j(\sqrt{3}-1)$

分母を展開します。

$(1-j\sqrt{3})(1+j\sqrt{3}) = 1 + j\sqrt{3} - j\sqrt{3} -j^2(3) = 1 + 3 = 4$

したがって、

$\frac{1-j}{1-j\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3}) + j(\sqrt{3}-1)}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{4} + j\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

次に、この複素数を極形式 $r(\cos\theta + j\sin\theta)$ で表します。

まず、$r$ を計算します。

$r = \sqrt{(\frac{1+\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 3 - 2\sqrt{3} + 1}{16}} = \sqrt{\frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

次に、$\theta$ を計算します。

$\cos\theta = \frac{\frac{1+\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\sin\theta = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{12}$は、$15^{\circ}$に対応します。

従って, $\theta = \frac{\pi}{12}$.

したがって、極形式は

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\frac{\pi}{12} + j\sin\frac{\pi}{12})$

3. 最終的な答え

$\frac{1-j}{1-j\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\frac{\pi}{12} + j\sin\frac{\pi}{12})$

あるいは

$\frac{1-j}{1-j\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{j\frac{\pi}{12}}$