$P(x) = x^3 - (p-3)x^2 - 3x + p - 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $P(x) = (x-1)(x^2 - x + p + 3)$が成り立つとき、空白に入る式を求めます。 (2) $P(x) = 0$ の3つの解が整数解となるような $p$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$P(x) = x^3 - (p-3)x^2 - 3x + p - 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $P(x) = (x-1)(x^2 - x + p + 3)$が成り立つとき、空白に入る式を求めます。

(2) $P(x) = 0$ の3つの解が整数解となるような $p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x) = x^3 - (p-3)x^2 - 3x + p - 1$

$P(x) = (x-1)(x^2 + ax + b)$ とおきます。

$P(1) = 1 - (p-3) - 3 + p - 1 = 1 - p + 3 - 3 + p - 1 = 0$ より、確かに $x=1$ は解です。

展開すると、

$P(x) = x^3 + ax^2 + bx - x^2 - ax - b = x^3 + (a-1)x^2 + (b-a)x - b$

係数を比較すると、

$a - 1 = -(p-3) = 3 - p$

$b - a = -3$

$-b = p - 1$

$a = 4 - p$

$b = a - 3 = 4 - p - 3 = 1 - p$

$-b = p - 1$ と一致します。

よって、

$P(x) = (x-1)(x^2 + (4-p)x + (1-p))$

したがって、空白に入る式は $x^2 + (4-p)x + (1-p)$ です。

(2)

$P(x) = (x-1)(x^2 + (4-p)x + (1-p)) = 0$

$x=1$ または $x^2 + (4-p)x + (1-p) = 0$

$x^2 + (4-p)x + (1-p) = 0$ の2つの解が整数である必要があります。

解の公式より

$x = \frac{-(4-p) \pm \sqrt{(4-p)^2 - 4(1-p)}}{2} = \frac{p-4 \pm \sqrt{p^2-8p+16-4+4p}}{2} = \frac{p-4 \pm \sqrt{p^2-4p+12}}{2}$

$p^2 - 4p + 12 = (p-2)^2 + 8$ が平方数である必要があります。

$k^2 = (p-2)^2 + 8$

$k^2 - (p-2)^2 = 8$

$(k - (p-2))(k + (p-2)) = 8$

$(k - p + 2)(k + p - 2) = 8$

$k - p + 2$ と $k + p - 2$ は整数なので、積が8になる整数の組み合わせを考えます。

1. $k - p + 2 = 1$, $k + p - 2 = 8$

2. $k - p + 2 = 2$, $k + p - 2 = 4$

3. $k - p + 2 = 4$, $k + p - 2 = 2$

4. $k - p + 2 = 8$, $k + p - 2 = 1$

5. $k - p + 2 = -1$, $k + p - 2 = -8$

6. $k - p + 2 = -2$, $k + p - 2 = -4$

7. $k - p + 2 = -4$, $k + p - 2 = -2$

8. $k - p + 2 = -8$, $k + p - 2 = -1$

1. $2k = 9$, $k = 4.5$ は整数でないので不適。

2. $2k = 6$, $k = 3$

$3 - p + 2 = 2$

$5 - p = 2$

$p = 3$

$x = \frac{3-4 \pm \sqrt{9 - 12 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$

$x = 1, -2$

$x = 1, 1, -2$

3. $2k = 6$, $k = 3$

$3 - p + 2 = 4$

$5 - p = 4$

$p = 1$

$x = \frac{1-4 \pm \sqrt{1 - 4 + 12}}{2} = \frac{-3 \pm 3}{2}$

$x = 0, -3$

$x = 1, 0, -3$

4. $2k = 9$, $k = 4.5$ は整数でないので不適。

5. $2k = -9$, $k = -4.5$ は整数でないので不適。

6. $2k = -6$, $k = -3$

$-3 - p + 2 = -2$

$-1 - p = -2$

$p = 1$

$x = \frac{1-4 \pm \sqrt{1 - 4 + 12}}{2} = \frac{-3 \pm 3}{2}$

$x = 0, -3$

$x = 1, 0, -3$

7. $2k = -6$, $k = -3$

$-3 - p + 2 = -4$

$-1 - p = -4$

$p = 3$

$x = \frac{3-4 \pm \sqrt{9 - 12 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$

$x = 1, -2$

$x = 1, 1, -2$

8. $2k = -9$, $k = -4.5$ は整数でないので不適。

したがって、$p = 1, 3$ が条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (4-p)x + (1-p)$

(2) $p = 1, 3$