二つの二次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ について、片方のみが実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

二つの二次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ について、片方のみが実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの二次方程式が実数解を持つ条件を求める。

(1) $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D_1 \ge 0$ であること。

$D_1 = (a+5)^2 - 4(3+a^2) = a^2 + 10a + 25 - 12 - 4a^2 = -3a^2 + 10a + 13 \ge 0$

$3a^2 - 10a - 13 \le 0$

$(3a - 13)(a + 1) \le 0$

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$

(2) $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D_2 \ge 0$ であること。

$D_2 = (3-a)^2 - 4(a+1)^2 = 9 - 6a + a^2 - 4(a^2 + 2a + 1) = 9 - 6a + a^2 - 4a^2 - 8a - 4 = -3a^2 - 14a + 5 \ge 0$

$3a^2 + 14a - 5 \le 0$

$(3a - 1)(a + 5) \le 0$

$-5 \le a \le \frac{1}{3}$

片方のみが実数解を持つ条件は、

(a) 一つ目の式が実数解を持ち、二つ目の式が実数解を持たない場合：

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$ かつ $a < -5$ または $a > \frac{1}{3}$。 よって $-1 \le a \le \frac{13}{3}$と$a > \frac{1}{3}$より、$\frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$.

(b) 一つ目の式が実数解を持たず、二つ目の式が実数解を持つ場合：

$a < -1$ または $a > \frac{13}{3}$ かつ $-5 \le a \le \frac{1}{3}$。よって$-5 \le a \le \frac{1}{3}$と$a<-1$より、$-5 \le a < -1$。

したがって、求める $a$ の範囲は、$-5 \le a < -1$ または $\frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$。

3. 最終的な答え

オカ = -5

キク = -1

ケ = 1

コ = 3

サシ = 13

ス = 3

$-5 \le a < -1, \frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$