与えられた行列 $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列の逆行列を求めるには、掃き出し法または余因子行列を用いる方法があります。ここでは掃き出し法を用いることにします。

(1) 与えられた行列 $P$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $[P | I]$ を作ります。

$$[P | I] = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

(2) 行基本変形を用いて、左側の行列 $P$ を単位行列 $I$ に変形します。この時、右側の行列が $P^{-1}$ になります。

まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} -2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

次に、1行目を-1/2倍します。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

1行目に2行目を加えます。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3/2 & 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

3行目から2行目を引きます。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3/2 & 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

1行目に3行目の3/2倍を加えます。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1 & 3/2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

2行目に3行目を加えます。

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

したがって、逆行列は

$$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 & 3/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

もしくは

$$P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

3. 最終的な答え

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 & 3/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$