与えられた4つの行列の行列式を計算する。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の行列式を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算する行列は

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

この行列は三角行列ではないが、３行目と４行目に0が連続して並んでいるため、３列目で展開すると計算が楽になる。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$ * 3 = $4 * (1*2 - 3*1) * 3 = 4 * (2 - 3) * 3 = -12$

(2)

行列式を計算する行列は

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

２行目は１行目の２倍ではないので、単純な定数倍の関係はない。しかし、２列目は１列目の２倍になっている。行列式において、ある列が別の列の定数倍である場合、行列式は0になる。したがって、この行列式は0である。

(3)

行列式を計算する行列は

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

１行目に２行目、３行目、４行目を加える。

$\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

１行目から３をくくりだす。

$3 * \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

２行目から１行目、３行目から１行目、４行目から１行目を引く。

$3 * \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3 * 1 * (-1) * (-1) * (-1) = -3$

(4)

行列式を計算する行列は

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}$

２行目から１行目を引いたものを新しい２行目とする。３行目から２行目を引いたものを新しい３行目とする。４行目から３行目を引いたものを新しい４行目とする。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{vmatrix}$

２行目と３行目が同じなので、行列式は0となる。

3. 最終的な答え

(1) -12

(2) 0

(3) -3

(4) 0