関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ のとき、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ のとき、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{1}{4}$

$= -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}((x-1)^2 - 1) - \frac{1}{4}$

$= -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$ となります。

この関数のグラフは上に凸な放物線で、頂点の座標は $(1, \frac{1}{4})$ です。

定義域は $0 \le x \le 3$ なので、この範囲における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域内にあるので、最大値は頂点の $y$ 座標である $\frac{1}{4}$ です。

$x=0$ と $x=3$ のときの $f(x)$ の値を計算して、小さい方が最小値となります。

$f(0) = -\frac{1}{2}(0-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

$f(3) = -\frac{1}{2}(3-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(2)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(4) + \frac{1}{4} = -2 + \frac{1}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$

$f(3)$ の方が小さいので、最小値は $-\frac{7}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{1}{4}$ であり、最小値は $-\frac{7}{4}$ です。