$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2$ の値を、$a=1$、$b=1-\sqrt{3}$ のとき求めます。

1. 問題の内容

$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2$ の値を、$a=1$、$b=1-\sqrt{3}$ のとき求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a=1$、$b=1-\sqrt{3}$ を与えられた式に代入します。

$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2 = (1)^2 + (1-\sqrt{3})^2 + 2(1) + 2(1-\sqrt{3}) - 2$

次に、$(1-\sqrt{3})^2$ を展開します。

$(1-\sqrt{3})^2 = (1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$

これを代入して、

$1 + (4 - 2\sqrt{3}) + 2 + 2(1-\sqrt{3}) - 2 = 1 + 4 - 2\sqrt{3} + 2 + 2 - 2\sqrt{3} - 2$

整理して、

$1 + 4 + 2 + 2 - 2 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$7 - 4\sqrt{3}$