問題は、次の2つの式を展開することです。 (1) $(a-b+2)(a-b-5)$ (2) $(x-y+z)^2$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式を展開することです。

(1) $(a-b+2)(a-b-5)$

(2) $(x-y+z)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b+2)(a-b-5)$ を展開します。

$a-b = A$ と置くと、

$(A+2)(A-5) = A^2 - 5A + 2A - 10 = A^2 - 3A - 10$

ここで $A = a-b$ を代入すると、

$(a-b)^2 - 3(a-b) - 10 = (a^2 - 2ab + b^2) - 3a + 3b - 10 = a^2 - 2ab + b^2 - 3a + 3b - 10$

(2) $(x-y+z)^2$ を展開します。

$(x-y+z)^2 = (x-y+z)(x-y+z) = x(x-y+z) -y(x-y+z) + z(x-y+z)$

$= x^2 - xy + xz - xy + y^2 - yz + xz - yz + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2xz - 2yz$

または、

$(x-y+z)^2 = (x + (-y) + z)^2$ と考えると、

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ の公式を利用できます。

$(x-y+z)^2 = x^2 + (-y)^2 + z^2 + 2(x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(x)$

$= x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2zx$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - 2ab + b^2 - 3a + 3b - 10$

(2) $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2zx$