問題は以下の通りです。 (1) $\frac{9}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$(\sqrt{3}-1)^3 (\sqrt{3}+1)^3$ を計算せよ。 (2) $a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $\frac{9}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$(\sqrt{3}-1)^3 (\sqrt{3}+1)^3$ を計算せよ。

(2) $a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{3}-1)^3 (\sqrt{3}+1)^3$ を計算する。

$(\sqrt{3}-1)^3 (\sqrt{3}+1)^3 = [(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)]^3$

$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

よって、$[(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)]^3 = 2^3 = 8$

(2) $\frac{9}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分 $a$、小数部分 $b$ を求める。

まず、$\frac{9}{\sqrt{3}-1}$ を有理化する。

$\frac{9}{\sqrt{3}-1} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{2} = \frac{9\sqrt{3}+9}{2}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$9\sqrt{3} \approx 9 \times 1.732 = 15.588$

$\frac{9\sqrt{3}+9}{2} \approx \frac{15.588+9}{2} = \frac{24.588}{2} = 12.294$

したがって、整数部分 $a = 12$ である。

小数部分 $b = \frac{9\sqrt{3}+9}{2} - a = \frac{9\sqrt{3}+9}{2} - 12 = \frac{9\sqrt{3}+9-24}{2} = \frac{9\sqrt{3}-15}{2}$

$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2$ の値を計算する。

$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2 = 12^2 + (\frac{9\sqrt{3}-15}{2})^2 + 2(12) + 2(\frac{9\sqrt{3}-15}{2}) - 2$

$= 144 + \frac{(9\sqrt{3})^2 - 2(9\sqrt{3})(15) + 15^2}{4} + 24 + (9\sqrt{3}-15) - 2$

$= 144 + \frac{81(3) - 270\sqrt{3} + 225}{4} + 24 + 9\sqrt{3} - 15 - 2$

$= 144 + \frac{243 - 270\sqrt{3} + 225}{4} + 24 + 9\sqrt{3} - 17$

$= 151 + \frac{468 - 270\sqrt{3}}{4} + 9\sqrt{3} = 151 + 117 - \frac{135}{2}\sqrt{3} + 9\sqrt{3}$

$= 268 + (-\frac{135}{2} + \frac{18}{2})\sqrt{3} = 268 - \frac{117}{2}\sqrt{3}$

しかし、$b = \frac{9}{\sqrt{3}-1}-12$ なので、

$b = \frac{9}{\sqrt{3}-1} - 12$ より、 $b+12 = \frac{9}{\sqrt{3}-1}$ となり、

$b+a = \frac{9}{\sqrt{3}-1}$ が成り立つ。

$a^2+b^2+2a+2b-2 = a^2+2a+1+b^2+2b+1-4 = (a+1)^2+(b+1)^2-4 = (12+1)^2+(b+1)^2-4 = 169+(b+1)^2-4$

$b=\frac{9}{\sqrt{3}-1} - 12$ であり、$a+b = \frac{9}{\sqrt{3}-1}$ なので

$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2 = (a+b)^2 + 2(a+b) -2ab - 2 = (\frac{9}{\sqrt{3}-1})^2 + 2(\frac{9}{\sqrt{3}-1}) - 2ab -2$

別の方法で解く

$a^2 + b^2 + 2a + 2b - 2 = (a+1)^2 + (b+1)^2 - 4$

$a+b = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{2} -12 = a, b=\frac{9}{\sqrt{3}-1} - 12$.

$a + b = \frac{9}{\sqrt{3}-1}$. よって $a+1 = a, b + 1 = b$

$a=12, a^2+b^2+2a+2b-2 = a^2 +2a + 1 + b^2 +2b + 1 - 4= (a+1)^2 + (b+1)^2 - 4 = (a^2 +2a + 1) + (b^2 +2b + 1) - 4=(a^2 + b^2 + 2ab) -2ab + 2(a+b) +2 -4 = (a+b)^2 - 2ab + 2(a+b) -2$

$a+b = \frac{9\sqrt{3}+9}{2}, (a+b)^2 = \frac{(9\sqrt{3}+9)^2}{4} = \frac{81*3 + 81*2\sqrt{3}+81}{4} = \frac{243+162\sqrt{3}+81}{4} = \frac{324+162\sqrt{3}}{4} = 81 + \frac{81}{2} \sqrt{3}$

$a+b=6, 2ab+2(a+b)-2$.

$a+b=\frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$, $a=12$, $b+12= \frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$, $b= \frac{9\sqrt{3}+9}{2}-12$

$= \frac{9\sqrt{3} -15}{2}$

$a=12, b = \frac{9\sqrt{3}-15}{2}$

$a^2+b^2+2a+2b - 2 = 144 + \frac{81*3-135\sqrt{3}*2+225}{4}+24+9\sqrt{3}-15 -2 = 169 + 27+ \frac{-180*3.17+225}{4}

$a=12$より、$a^2+2a=144+24=168$

$168+b^2+2b-2= 166 + b^2 +2b = 166+(9*\sqrt{3} -15 /2)^2+(2)* 9\sqrt{3}-15/2$.

$166+ (( 81)3-18)(sqrt3(1)(/4)+(2)(9sqrt3-15/2),

(1)の答えは8

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $268 - \frac{117}{2}\sqrt{3}$