関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{4}$ となります。

この関数は上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, \frac{1}{4})$ です。

定義域 $-1 \le x \le 2$ を考慮します。

$x = 1$ は定義域に含まれており、このとき $f(1) = \frac{1}{4}$ となり、これが最大値となります。

次に、定義域の端点における関数の値を計算します。

$f(-1) = -\frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$

$f(2) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(4) + 2 - \frac{1}{4} = -2 + 2 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

したがって、定義域の端点における関数の値は $f(-1) = -\frac{7}{4}$ および $f(2) = -\frac{1}{4}$ です。

これらの値と頂点での値 $\frac{1}{4}$ を比較すると、最小値は $f(-1) = -\frac{7}{4}$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{1}{4}$、最小値は $-\frac{7}{4}$ です。