与えられた行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める問題です。行列 $P$ は以下のように与えられています。 $ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める問題です。行列 $P$ は以下のように与えられています。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるためには、掃き出し法を使用します。行列 $P$ に単位行列を並べた拡大行列を作成し、行基本変形を繰り返して、$P$ の部分を単位行列に変形します。変形後の右側の行列が、求める逆行列 $P^{-1}$ になります。

拡大行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(1) 2行目に1行目の2倍を加える ($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & | & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 3行目から1行目の2倍を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & | & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 2行目を1/2倍する ($R_2 \rightarrow \frac{1}{2}R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 3行目に2行目を加える ($R_3 \rightarrow R_3 + R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

(5) 1行目に3行目を加える ($R_1 \rightarrow R_1 + R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が逆行列 $P^{-1}$ です。

3. 最終的な答え

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$