$R^3$ の数ベクトル $a_1, a_2, a_3$ について、命題「組 $a_1, a_2$ と組 $a_2, a_3$ と組 $a_3, a_1$ がどれも一次独立ならば、組 $a_1, a_2, a_3$ は一次独立である」が正しいかどうかを判定し、真ならば証明、偽ならば反例を挙げる。

## 問題 (3)

1. 問題の内容

$R^3$ の数ベクトル $a_1, a_2, a_3$ について、命題「組 $a_1, a_2$ と組 $a_2, a_3$ と組 $a_3, a_1$ がどれも一次独立ならば、組 $a_1, a_2, a_3$ は一次独立である」が正しいかどうかを判定し、真ならば証明、偽ならば反例を挙げる。

2. 解き方の手順

この命題は偽である。反例を挙げる。

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とする。

$a_1$ と $a_2$ は一次独立である。なぜなら、$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ ならば $c_1 = c_2 = 0$ だから。

$a_2$ と $a_3$ は一次独立である。なぜなら、$c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$ ならば $c_2 a_2 + c_3 a_3 = \begin{pmatrix} c_3 \\ c_2 + c_3 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ となるので $c_3=0$ かつ $c_2+c_3 = 0$。従って $c_2=0$ かつ $c_3 = 0$。

$a_3$ と $a_1$ は一次独立である。なぜなら、$c_3 a_3 + c_1 a_1 = 0$ ならば $c_3 a_3 + c_1 a_1 = \begin{pmatrix} c_3 + c_1 \\ c_3 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ となるので $c_3=0$ かつ $c_3+c_1 = 0$。従って $c_1=0$ かつ $c_3 = 0$。

しかし、$a_1$, $a_2$, $a_3$ は一次独立ではない。なぜなら、$1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 - 1 \cdot a_3 = 0$ となるから。

3. 最終的な答え

偽

## 問題 4.(1)

1. 問題の内容

$A$ は 2 次正方行列とする。線形写像 $f(x) = Ax$ について、$f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば、$x_1, x_2$ も一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

この命題は偽である。反例を示す。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とおく。

$x_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ とおく。

すると，$f(x_1) = A x_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, f(x_2) = A x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

$f(x_1)$ と $f(x_2)$ は一次独立ではない。

しかし、$x_1$ と $x_2$ は一次従属であるから、条件を満たさない。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とおく。

$x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ とおく。

すると、$f(x_1) = A x_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, f(x_2) = A x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

$f(x_1)$ と $f(x_2)$ は一次独立ではない。$x_1$ と $x_2$ は一次独立である。

従って、仮定 $f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば、$x_1, x_2$ も一次独立である、は成り立たない。

3. 最終的な答え

偽

## 問題 4.(2)

1. 問題の内容

$A$ は 2 次正方行列とする。線形写像 $f(x) = Ax$ について、$\text{Ker} A = \{0\}$ とする。このとき、$x_1, x_2$ が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$ も一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

$c_1 f(x_1) + c_2 f(x_2) = 0$ を仮定する。

$c_1 A x_1 + c_2 A x_2 = 0$ となる。

$A (c_1 x_1 + c_2 x_2) = 0$ となる。

従って、$c_1 x_1 + c_2 x_2 \in \text{Ker} A$ となる。

仮定より、$\text{Ker} A = \{0\}$ なので、$c_1 x_1 + c_2 x_2 = 0$ となる。

$x_1$ と $x_2$ は一次独立なので、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ となる。

従って、$f(x_1)$ と $f(x_2)$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

証明終わり