2つの二次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ がともに実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。その範囲は、$\text{アイ} \le a \le \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}$ の形で表される。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ がともに実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。その範囲は、$\text{アイ} \le a \le \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}$ の形で表される。

2. 解き方の手順

各二次方程式が実数解を持つためには、判別式が0以上である必要がある。

最初の二次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (a+5)^2 - 4(3+a^2) = a^2 + 10a + 25 - 12 - 4a^2 = -3a^2 + 10a + 13 \ge 0$

$3a^2 - 10a - 13 \le 0$

$(3a-13)(a+1) \le 0$

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$

2番目の二次方程式 $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (3-a)^2 - 4(a+1)^2 = 9 - 6a + a^2 - 4(a^2 + 2a + 1) = 9 - 6a + a^2 - 4a^2 - 8a - 4 = -3a^2 - 14a + 5 \ge 0$

$3a^2 + 14a - 5 \le 0$

$(3a-1)(a+5) \le 0$

$-5 \le a \le \frac{1}{3}$

両方の条件を満たす $a$ の範囲を求める。

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$ と $-5 \le a \le \frac{1}{3}$ の共通範囲は $-1 \le a \le \frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$-1 \le a \le \frac{1}{3}$

アイ = -1, ウ = 1, エ = 3