## 問題の回答

## 問題の回答

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3. 問題の内容

$a_1, a_2, a_3$ は $\mathbb{R}^3$ の数ベクトルとする。命題「組 $a_1, a_2$ と組 $a_2, a_3$ と組 $a_3, a_1$ がどれも一次独立ならば、組 $a_1, a_2, a_3$ は一次独立である」は正しいか。もし真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

### 解き方の手順

この命題は偽である。反例を挙げる。

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とする。

組 $a_1, a_2$ は明らかに一次独立である。

組 $a_2, a_3$ において、$c_1 a_2 + c_2 a_3 = 0$ とすると、

$c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_2 \\ c_1 + c_2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となり、$c_1 = c_2 = 0$ であるため、組 $a_2, a_3$ は一次独立である。

組 $a_3, a_1$ において、$c_1 a_3 + c_2 a_1 = 0$ とすると、

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ c_1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となり、$c_1 = c_2 = 0$ であるため、組 $a_3, a_1$ は一次独立である。

しかし、$a_1, a_2, a_3$ において、$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$ とすると、

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + c_3 \\ c_2 + c_3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

$c_1 + c_3 = 0$ かつ $c_2 + c_3 = 0$ であり、$c_1 = -c_3, c_2 = -c_3$ となる。

$c_3 = 1$ とすると、$c_1 = -1, c_2 = -1$ となり、$-a_1 - a_2 + a_3 = 0$ が成り立つため、$a_1, a_2, a_3$ は一次従属である。

### 最終的な答え

偽。反例：

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

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4. (1) 問題の内容

$A$ は 2 次正方行列とする。線形写像 $f(x) = Ax$ について、$f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば $x_1, x_2$ も一次独立であることを示せ。

### 解き方の手順

$x_1, x_2$ が一次独立でないと仮定する。

すると、$c_1 x_1 + c_2 x_2 = 0$ となる $c_1, c_2$ が存在し、$c_1, c_2$ は同時に 0 ではない。

このとき、$f(c_1 x_1 + c_2 x_2) = f(0) = 0$ である。

線形性より、$c_1 f(x_1) + c_2 f(x_2) = 0$ となる。

$c_1, c_2$ は同時に 0 ではないので、$f(x_1), f(x_2)$ は一次従属となる。

これは、$f(x_1), f(x_2)$ が一次独立であるという仮定に矛盾する。

したがって、$x_1, x_2$ は一次独立である。

### 最終的な答え

証明終わり。

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4. (2) 問題の内容

$A$ は 2 次正方行列とする。線形写像 $f(x) = Ax$ について、$\text{Ker } A = \{0\}$ とする。このとき $x_1, x_2$ が一次独立ならば $f(x_1), f(x_2)$ も一次独立であることを示せ。

### 解き方の手順

$f(x_1), f(x_2)$ が一次独立でないと仮定する。

すると、$c_1 f(x_1) + c_2 f(x_2) = 0$ となる $c_1, c_2$ が存在し、$c_1, c_2$ は同時に 0 ではない。

線形性より、$f(c_1 x_1 + c_2 x_2) = 0$ となる。

これは、$c_1 x_1 + c_2 x_2 \in \text{Ker } A$ を意味する。

$\text{Ker } A = \{0\}$ より、$c_1 x_1 + c_2 x_2 = 0$ となる。

$x_1, x_2$ は一次独立なので、$c_1 = c_2 = 0$ でなければならない。

これは、$c_1, c_2$ が同時に 0 ではないという仮定に矛盾する。

したがって、$f(x_1), f(x_2)$ は一次独立である。

### 最終的な答え

証明終わり。