提示された画像には、複数の線形代数の問題が含まれています。 * 問1: 拡大係数行列の基本変形を用いた連立一次方程式を解く。 * 問2: 実数 $x$ を含む行列を簡約化し、階数を求める。 * 問3: 行列式の値を求める。 * 問4: 行列の逆行列を求める。 * 問5: ある条件を満たす正方行列の行列式の性質を示す。 * 問6: 行列の積と零行列に関する命題の真偽を考察する。

はい、承知いたしました。画像に示された数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

提示された画像には、複数の線形代数の問題が含まれています。

* 問1: 拡大係数行列の基本変形を用いた連立一次方程式を解く。

* 問2: 実数 $x$ を含む行列を簡約化し、階数を求める。

* 問3: 行列式の値を求める。

* 問4: 行列の逆行列を求める。

* 問5: ある条件を満たす正方行列の行列式の性質を示す。

* 問6: 行列の積と零行列に関する命題の真偽を考察する。

2. 解き方の手順

問1: 連立一次方程式

連立一次方程式は、以下のように表されます。

$\begin{cases}

2x_1 + 4x_2 + x_3 - 8 = 1 \\

x_1 + 2x_2 - x_3 - 1 = 2 \\

x_1 + 2x_2 + x_3 - 5 = 0

\end{cases}$

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix}

2 & 4 & 1 & 1+8 \\

1 & 2 & -1 & 2+1 \\

1 & 2 & 1 & 0+5

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

2 & 4 & 1 & 9 \\

1 & 2 & -1 & 3 \\

1 & 2 & 1 & 5

\end{bmatrix}$

この行列を簡約化し、$x_1$, $x_2$, $x_3$の値を求めます。

(1) 1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

2 & 4 & 1 & 9 \\

1 & 2 & 1 & 5

\end{bmatrix}$

(2) 2行目を「2行目 - 2 * 1行目」、3行目を「3行目 - 1行目」で置き換える。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 0 & 3 & 3 \\

0 & 0 & 2 & 2

\end{bmatrix}$

(3) 2行目を1/3倍、3行目を1/2倍する。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{bmatrix}$

(4) 3行目を「3行目 - 2行目」で置き換える。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

(5) 1行目を「1行目 + 2行目」で置き換える。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 4 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

よって、

$\begin{cases}

x_1 + 2x_2 = 4 \\

x_3 = 1

\end{cases}$

$x_2 = k$とすると、$x_1 = 4 - 2k$となります。

問2: 行列の簡約化

行列

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 2 \\

1 & 1 & x

\end{bmatrix}$

を簡約化します。

(1) 2行目を「2行目 - 1行目」、3行目を「3行目 - 1行目」で置き換える。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & x-1

\end{bmatrix}$

(2) 3行目を「3行目 - (x-1) * 2行目」で置き換える。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

(3) 1行目を「1行目 - 2行目」で置き換える。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

この行列の階数は2です。

問3: 行列式

(1)

$\begin{vmatrix}

-1 & 6 & 7 \\

3 & -3 & 4 \\

-2 & 3 & 2

\end{vmatrix}

= -1(-6-12) - 6(6+8) + 7(9-6) = 18 - 84 + 21 = -45$

(2)

$\begin{vmatrix}

1 & 4 & -3 & 4 \\

1 & -1 & 2 & 4 \\

1 & 1 & 3 & 2 \\

5 & 10 & -15 & 10

\end{vmatrix}$

4行目は1行目の5倍なので、行列式は0です。

問4: 逆行列

$A = \begin{bmatrix}

2 & 1 & 3 \\

4 & 1 & 2 \\

3 & -2 & 2

\end{bmatrix}$

$\det(A) = 2(2+4) - 1(8-6) + 3(-8-3) = 12 - 2 - 33 = -23$

余因子行列を計算し、転置行列を計算し、行列式で割ることで逆行列を求めます。

余因子行列は、以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

6 & -2 & -11 \\

-8 & -5 & 7 \\

-1 & 8 & -2

\end{bmatrix}$

転置行列は、以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

6 & -8 & -1 \\

-2 & -5 & 8 \\

-11 & 7 & -2

\end{bmatrix}$

逆行列は、以下の通りです。

$A^{-1} = \frac{1}{-23}\begin{bmatrix}

6 & -8 & -1 \\

-2 & -5 & 8 \\

-11 & 7 & -2

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}

-6/23 & 8/23 & 1/23 \\

2/23 & 5/23 & -8/23 \\

11/23 & -7/23 & 2/23

\end{bmatrix}$

問5: 行列式の性質

$A^T A = E$の場合、$|A^T A| = |E|$が成り立ちます。

行列式の性質から、$|A^T A| = |A^T| |A| = |A| |A| = |A|^2$であり、$|E| = 1$です。

したがって、$|A|^2 = 1$となり、$|A| = \pm 1$が示されます。

問6: 行列の性質

(1) $AB = O$のとき、$A=O$または$B=O$とは限りません。例えば、$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$の場合、$AB=O$ですが、$A$も$B$も零行列ではありません。

(2) $A$が正則であるとき、$AB = O$ならば、$A^{-1}AB = A^{-1}O$より、$EB = O$、つまり$B=O$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

* 問1: $x_1 = 4 - 2k$, $x_2 = k$, $x_3 = 1$ (kは任意の実数)

* 問2: 階数 2

* 問3: (1) -45, (2) 0

* 問4: $\begin{bmatrix}

-6/23 & 8/23 & 1/23 \\

2/23 & 5/23 & -8/23 \\

11/23 & -7/23 & 2/23

\end{bmatrix}$

* 問5: $|A| = \pm 1$

* 問6: (1) A=OまたはB=Oとは限らない、(2) B=O