問題4の(1)と(2)を解きます。 (1) $A$は2次正方行列、$f(x) = Ax$とする。$f(x_1), f(x_2)$が一次独立ならば、$x_1, x_2$も一次独立であることを示す。 (2) $A$は2次正方行列、$f(x) = Ax$, $\text{Ker} A = \{0\}$とする。$x_1, x_2$が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$も一次独立であることを示す。

1. 問題の内容

問題4の(1)と(2)を解きます。

(1) $A$は2次正方行列、$f(x) = Ax$とする。$f(x_1), f(x_2)$が一次独立ならば、$x_1, x_2$も一次独立であることを示す。

(2) $A$は2次正方行列、$f(x) = Ax$, $\text{Ker} A = \{0\}$とする。$x_1, x_2$が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$も一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明します。つまり、$x_1, x_2$が一次従属ならば、$f(x_1), f(x_2)$も一次従属であることを示します。

$x_1, x_2$が一次従属であると仮定すると、あるスカラー$c \neq 0$が存在して、$x_2 = cx_1$と書けます。

このとき、$f(x_2) = f(cx_1) = c f(x_1)$ となります。

したがって、$f(x_1), f(x_2)$も一次従属です。

なぜなら、$f(x_2) - c f(x_1) = 0$であり、係数が両方ゼロではないからです。

よって、$f(x_1), f(x_2)$が一次独立ならば、$x_1, x_2$も一次独立です。

(2) $x_1, x_2$が一次独立であるとします。$f(x_1), f(x_2)$が一次従属であると仮定して矛盾を導きます。

もし$f(x_1), f(x_2)$が一次従属なら、あるスカラー$c_1, c_2$ ($c_1, c_2$は両方ともゼロではない)が存在して、$c_1 f(x_1) + c_2 f(x_2) = 0$となります。

これは、$c_1 A x_1 + c_2 A x_2 = A (c_1 x_1 + c_2 x_2) = 0$ と同じです。

$\text{Ker} A = \{0\}$なので、$A v = 0$ ならば $v = 0$です。

したがって、$c_1 x_1 + c_2 x_2 = 0$となります。

しかし、$x_1, x_2$は一次独立なので、$c_1 = c_2 = 0$でなければなりません。

これは、$c_1, c_2$は両方ともゼロではないという仮定に矛盾します。

したがって、$f(x_1), f(x_2)$は一次独立です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x_1), f(x_2)$が一次独立ならば、$x_1, x_2$も一次独立である。

(2) $\text{Ker} A = \{0\}$のとき、$x_1, x_2$が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$も一次独立である。