$a_1$, $a_2$, $a_3$ は $\mathbb{R}^3$ のベクトルとする。命題「組 $a_1, a_2$ と組 $a_2, a_3$ と組 $a_3, a_1$ がどれも一次独立ならば、組 $a_1, a_2, a_3$ は一次独立である」は正しいか。正しければ証明し、偽ならば反例を挙げよ。

1. 問題の内容

$a_1$, $a_2$, $a_3$ は $\mathbb{R}^3$ のベクトルとする。命題「組 $a_1, a_2$ と組 $a_2, a_3$ と組 $a_3, a_1$ がどれも一次独立ならば、組 $a_1, a_2, a_3$ は一次独立である」は正しいか。正しければ証明し、偽ならば反例を挙げよ。

2. 解き方の手順

この命題は偽である。反例を示す。

$a_1, a_2, a_3$ が一次独立でないとき、ある定数 $c_1, c_2, c_3$ （すべてが $0$ ではない）が存在し、

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$

が成り立つ。

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

を考える。

$a_1$ と $a_2$ は一次独立。

$a_2$ と $a_3$ は一次独立。

$a_3$ と $a_1$ は一次独立。

なぜなら、例えば $c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ ならば、

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

より $c_1 = 0, c_2 = 0$ となるから。同様に、$a_2$ と $a_3$, $a_3$ と $a_1$ も一次独立である。

しかし、$a_1, a_2, a_3$ は一次独立ではない。なぜなら、

$1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 + (-1) \cdot a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

だから。

3. 最終的な答え

偽。

反例：

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$