(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、組 $a_1, a_1 + a_2$ も一次独立であることを示せ。 (2) 一次独立でないことを一次従属という。$\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して組 $a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示せ。

1. 問題の内容

(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、組 $a_1, a_1 + a_2$ も一次独立であることを示せ。

(2) 一次独立でないことを一次従属という。$\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して組 $a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $c_1a_1 + c_2(a_1 + a_2) = 0$ を仮定する。このとき、$c_1$ と $c_2$ がともに 0 であることを示せば、$a_1, a_1 + a_2$ が一次独立であることが示せる。

$c_1a_1 + c_2(a_1 + a_2) = (c_1+c_2)a_1 + c_2a_2 = 0$

$a_1$ と $a_2$ は一次独立なので、$c_1+c_2=0$ かつ $c_2=0$ でなければならない。

したがって、$c_1=0$ かつ $c_2=0$。

よって、$a_1, a_1 + a_2$ は一次独立である。

(2) $a_1, a_2$ が一次従属なので、ある定数 $c_1, c_2$ が存在し、$c_1a_1 + c_2a_2 = 0$ かつ $c_1, c_2$ の少なくとも一方は 0 でない。

任意のベクトル $a \in \mathbb{R}^3$ に対して、$c_1a_1 + c_2a_2 + 0a = 0$ が成立する。$c_1, c_2, 0$ の少なくとも一つは 0 でないため、$a_1, a_2, a$ は一次従属である。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、組 $a_1, a_1 + a_2$ も一次独立である。

(2) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して組 $a_1, a_2, a$ は一次従属である。