A は 2 次正方行列であり、線形写像 $f(x) = Ax$ が与えられている。 (1) $f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば、$x_1, x_2$ も一次独立であることを示す。 (2) $Ker A = \{0\}$ とする。このとき、$x_1, x_2$ が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$ も一次独立であることを示す。

1. 問題の内容

A は 2 次正方行列であり、線形写像 $f(x) = Ax$ が与えられている。

(1) $f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば、$x_1, x_2$ も一次独立であることを示す。

(2) $Ker A = \{0\}$ とする。このとき、$x_1, x_2$ が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$ も一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。つまり、$x_1, x_2$ が一次従属ならば、$f(x_1), f(x_2)$ が一次従属であることを示す。

$x_1, x_2$ が一次従属であるとする。すると、あるスカラー $c_1, c_2$ (ただし、少なくとも一方は 0 でない) が存在して、

$c_1x_1 + c_2x_2 = 0$

が成り立つ。

両辺に $A$ をかけると、

$A(c_1x_1 + c_2x_2) = A0$

$c_1Ax_1 + c_2Ax_2 = 0$

$c_1f(x_1) + c_2f(x_2) = 0$

$c_1, c_2$ の少なくとも一方は 0 でないので、$f(x_1), f(x_2)$ は一次従属である。よって、対偶が証明されたので、$f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば、$x_1, x_2$ も一次独立である。

(2) $c_1f(x_1) + c_2f(x_2) = 0$ と仮定する。

$c_1Ax_1 + c_2Ax_2 = 0$

$A(c_1x_1 + c_2x_2) = 0$

$c_1x_1 + c_2x_2$ は $A$ の Kernel に属する。

$Ker A = \{0\}$ より、$c_1x_1 + c_2x_2 = 0$

$x_1, x_2$ は一次独立なので、$c_1 = c_2 = 0$ でなければならない。

したがって、$f(x_1), f(x_2)$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x_1), f(x_2)$ が一次独立ならば、$x_1, x_2$ も一次独立である。(証明済み)

(2) $x_1, x_2$ が一次独立ならば、$f(x_1), f(x_2)$ も一次独立である。(証明済み)