連立方程式 $y = 3x + 4$ $y = mx + n$ が与えられたとき、この連立方程式が (1) ただ1組の解を持つ、(2) 解を持たない、(3) 無数の解を持つための $m$ と $n$ に関する必要十分条件をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

連立方程式

$y = 3x + 4$

$y = mx + n$

が与えられたとき、この連立方程式が (1) ただ1組の解を持つ、(2) 解を持たない、(3) 無数の解を持つための $m$ と $n$ に関する必要十分条件をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) ただ1組の解を持つ場合：

2つの直線が異なる傾きを持っていれば、ただ1点で交わる。したがって、$m \neq 3$ が必要十分条件である。

(2) 解を持たない場合：

2つの直線が平行で、かつ $y$ 切片が異なっていれば、交点を持たない。つまり、$m = 3$ かつ $n \neq 4$ が必要十分条件である。

(3) 無数の解を持つ場合：

2つの直線が完全に一致すれば、全ての点で交わる。つまり、$m = 3$ かつ $n = 4$ が必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) ただ1組の解を持つ：$m \neq 3$

(2) 解を持たない：$m = 3$ かつ $n \neq 4$

(3) 無数の解を持つ：$m = 3$ かつ $n = 4$