与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\

-2 & 0 & 1 & -3 & -1 \\

0 & -1 & 2 & 0 & 2 \\

-2 & 0 & 2 & 0 & 1 \\

-1 & 0 & -2 & 0 & 3

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず第4列に注目します。第4列はほとんどが0なので、第4列に関して余因子展開を行うと、計算が簡単になります。

行列式をDとすると、

$D = 0 \cdot C_{14} + (-3) \cdot C_{24} + 0 \cdot C_{34} + 0 \cdot C_{44} + 0 \cdot C_{54}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)成分の余因子です。

したがって、

$D = -3 \cdot C_{24}$

$C_{24}$は、元の行列から第2行と第4列を取り除いた4x4行列の行列式に(-1)^(2+4) = 1をかけたものです。

つまり、

$C_{24} = \begin{vmatrix}

2 & -1 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 2 & 2 \\

-2 & 0 & 2 & 1 \\

-1 & 0 & -2 & 3

\end{vmatrix}$

次に、この4x4行列の第2列に注目すると、1つの非ゼロ要素のみを持つため、第2列に関して余因子展開を行います。

$C_{24} = (-1) \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}

0 & 2 & 2 \\

-2 & 2 & 1 \\

-1 & -2 & 3

\end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}

2 & 1 & 0 \\

-2 & 2 & 1 \\

-1 & -2 & 3

\end{vmatrix}$

したがって、

$C_{24} = \begin{vmatrix}

0 & 2 & 2 \\

-2 & 2 & 1 \\

-1 & -2 & 3

\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}

2 & 1 & 0 \\

-2 & 2 & 1 \\

-1 & -2 & 3

\end{vmatrix}$

最初の3x3行列の行列式は、

$0(6-(-2)) - 2(-6-(-1)) + 2(4-(-2)) = 0 + 10 + 12 = 22$

2番目の3x3行列の行列式は、

$2(6-(-2)) - 1(-6-(-1)) + 0(4-(-2)) = 16 + 5 + 0 = 21$

したがって、

$C_{24} = 22 + 21 = 43$

元の行列式Dは、

$D = -3 \cdot C_{24} = -3 \cdot 43 = -129$

3. 最終的な答え

-129