与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の標準形 $M$ と、正則行列 $P, Q$ で $PAQ = M$ となるものを一組求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の標準形 $M$ と、正則行列 $P, Q$ で $PAQ = M$ となるものを一組求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ に行基本変形と列基本変形を施して標準形 $M$ を求め、その際の変形に対応する正則行列 $P, Q$ を求める。

まず、行列 $A$ に行基本変形を施す。

$A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の2倍を加える。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 13 \end{pmatrix}$

この操作は、左から行列 $P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ をかけることに対応する。

次に、列基本変形を施す。

1列目を-1/2倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 13 \end{pmatrix}$

この操作は、右から行列 $Q_1 = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ をかけることに対応する。

2列目から1列目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 6 & 13 \end{pmatrix}$

この操作は、右から行列 $Q_2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ をかけることに対応する。

3列目から1列目の6倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 13 \end{pmatrix}$

この操作は、右から行列 $Q_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ をかけることに対応する。

2行目を1/6倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 13/6 \end{pmatrix}$

この操作は、左から行列 $P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/6 \end{pmatrix}$ をかけることに対応する。

3列目から2列目の13/6倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

この操作は、右から行列 $Q_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -13/6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ をかけることに対応する。

したがって、標準形 $M$ は $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ となる。

$P = P_2 P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/3 & 1/6 \end{pmatrix}$

$Q = Q_1 Q_2 Q_3 Q_4 = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -13/6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -13/6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

標準形 $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/3 & 1/6 \end{pmatrix}$

$Q = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -13/6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$