問題は、$x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$を満たす2より大きい実数$x$について、いくつかの値を求めるものです。具体的には、$\left(x - \frac{4}{x}\right)^2$、$\left(x + \frac{4}{x}\right)^2$、$x$の値、および$m < x + \frac{4}{x} < m+1$、$n < \sqrt{x + \frac{4}{x}} < n+1$を満たす整数$m,n$を求めます。

1. 問題の内容

問題は、$x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$を満たす2より大きい実数$x$について、いくつかの値を求めるものです。具体的には、$\left(x - \frac{4}{x}\right)^2$、$\left(x + \frac{4}{x}\right)^2$、$x$の値、および$m < x + \frac{4}{x} < m+1$、$n < \sqrt{x + \frac{4}{x}} < n+1$を満たす整数$m,n$を求めます。

2. 解き方の手順

(ア), (イウ) の計算:

$x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$ を変形します。

$\left(x - \frac{4}{x}\right)^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2} = \left(x^2 + \frac{16}{x^2}\right) - 8 = 9 - 8 = 1$

$\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} = \left(x^2 + \frac{16}{x^2}\right) + 8 = 9 + 8 = 17$

(エ) の計算:

$x > 2$ より、$x - \frac{4}{x}$ の符号を考えます。

$x - \frac{4}{x} = \frac{x^2 - 4}{x}$

$x > 2$ なので $x^2 - 4 > 0$、したがって$x - \frac{4}{x} > 0$です。

$\left(x - \frac{4}{x}\right)^2 = 1$ より、$x - \frac{4}{x} = \pm 1$ ですが、$x - \frac{4}{x} > 0$なので、

$x - \frac{4}{x} = 1$

$x^2 - x - 4 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

$x > 2$ より、$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

(オ) の計算:

$x + \frac{4}{x}$ の値を求めます。

$\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = 17$ であり、$x>2$なので、$x + \frac{4}{x} > 0$ なので、

$x + \frac{4}{x} = \sqrt{17}$

$4 < \sqrt{17} < 5$ より、$m=4$

(カ) の計算:

$\sqrt{x + \frac{4}{x}} = \sqrt{\sqrt{17}} = 17^{\frac{1}{4}}$

$17$ は、$2^4 = 16$ と $3^4 = 81$ の間にあるので、$2 < \sqrt{\sqrt{17}} < 3$ です。

$4^2 < 17 < 5^2$ なので、$4 < \sqrt{17} < 5$

$\sqrt{4} < \sqrt{\sqrt{17}} < \sqrt{5}$

$2 < \sqrt{\sqrt{17}} < \sqrt{5} \approx 2.236$

よって、$n=2$

3. 最終的な答え

ア：1

イウ：17

エ：$\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

オ：4

カ：2