底の変換公式を用いて、以下の対数の値を求める問題です。 (1) $\log_{16} 4$ (2) $\log_{4} \sqrt{2}$ (3) $\log_{9} \frac{1}{27}$

1. 問題の内容

底の変換公式を用いて、以下の対数の値を求める問題です。

(1) $\log_{16} 4$

(2) $\log_{4} \sqrt{2}$

(3) $\log_{9} \frac{1}{27}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{16} 4$

底の変換公式 $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ を用います。

底を2に変換すると、

$\log_{16} 4 = \frac{\log_{2} 4}{\log_{2} 16}$

$4 = 2^2$ なので $\log_{2} 4 = 2$

$16 = 2^4$ なので $\log_{2} 16 = 4$

よって、

$\log_{16} 4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $\log_{4} \sqrt{2}$

底の変換公式 $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ を用います。

底を2に変換すると、

$\log_{4} \sqrt{2} = \frac{\log_{2} \sqrt{2}}{\log_{2} 4}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ なので $\log_{2} \sqrt{2} = \frac{1}{2}$

$4 = 2^2$ なので $\log_{2} 4 = 2$

よって、

$\log_{4} \sqrt{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

(3) $\log_{9} \frac{1}{27}$

底の変換公式 $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ を用います。

底を3に変換すると、

$\log_{9} \frac{1}{27} = \frac{\log_{3} \frac{1}{27}}{\log_{3} 9}$

$\frac{1}{27} = 3^{-3}$ なので $\log_{3} \frac{1}{27} = -3$

$9 = 3^2$ なので $\log_{3} 9 = 2$

よって、

$\log_{9} \frac{1}{27} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $-\frac{3}{2}$