与えられた式 $64a^6 - b^6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $64a^6 - b^6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$64a^6 - b^6$ を $(A^2 - B^2)$ の形と見て、因数分解を行う。

$64a^6 = (8a^3)^2$、 $b^6 = (b^3)^2$ なので、

$64a^6 - b^6 = (8a^3)^2 - (b^3)^2$ と書ける。

$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を用いると、

$(8a^3)^2 - (b^3)^2 = (8a^3 + b^3)(8a^3 - b^3)$

次に、$8a^3 + b^3$ と $8a^3 - b^3$ をそれぞれ因数分解する。

$8a^3 + b^3 = (2a)^3 + b^3$ と $8a^3 - b^3 = (2a)^3 - b^3$ である。

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ および $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ を用いると、

$(2a)^3 + b^3 = (2a + b)((2a)^2 - (2a)b + b^2) = (2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2)$

$(2a)^3 - b^3 = (2a - b)((2a)^2 + (2a)b + b^2) = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$

したがって、

$(8a^3 + b^3)(8a^3 - b^3) = (2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2)(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$

$= (2a + b)(2a - b)(4a^2 - 2ab + b^2)(4a^2 + 2ab + b^2)$

3. 最終的な答え

$(2a + b)(2a - b)(4a^2 - 2ab + b^2)(4a^2 + 2ab + b^2)$

または

$(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$