与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値を求める。

2. 解き方の手順

固有値を求めるには、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解けば良い。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表す。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & -1 \\ 0 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & 2 & 4-\lambda \end{pmatrix}$

特性方程式は、

$|A - \lambda I| = (1-\lambda)((2-\lambda)(4-\lambda) - 2) - (-1)(0 - 2) + (-1)(0 - 2(2-\lambda)) = 0$

$(1-\lambda)(8 - 6\lambda + \lambda^2 - 2) + 2 - (-1)(-4 + 2\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 6) + 2 - 4 + 2\lambda = 0$

$\lambda^2 - 6\lambda + 6 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 6\lambda - 2 + 2\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 7\lambda^2 - 10\lambda + 4 = 0$

$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 10\lambda - 4 = 0$

$(\lambda - 2)(\lambda^2 - 5\lambda + 2) = 0$

$\lambda = 2$ または $\lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0$

$\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$, $\lambda_3 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$。

3. 最終的な答え

固有値は $2, \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ です。