多項式 $P(x)$ を $x^2 - 1$ で割ると余りが $4x - 3$、$x^2 - 4$ で割ると余りが $3x + 5$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x^2 - 1$ で割ると余りが $4x - 3$、$x^2 - 4$ で割ると余りが $3x + 5$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ および $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ であるから、$P(1) = 4(1) - 3 = 1$、$P(-1) = 4(-1) - 3 = -7$、$P(2) = 3(2) + 5 = 11$、$P(-2) = 3(-2) + 5 = -1$ である。

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおくと、

$P(x) = (x+1)(x+2)Q(x) + ax + b$ （$Q(x)$ はある多項式）と表せる。

したがって、$P(-1) = -a + b = -7$、$P(-2) = -2a + b = -1$ が成り立つ。

この2式から $a$ と $b$ を求める。

第2式から第1式を引くと、$-2a + b - (-a + b) = -1 - (-7)$ より $-a = 6$。

よって、$a = -6$。

$-a + b = -7$ に代入すると、$-(-6) + b = -7$ より $6 + b = -7$。

よって、$b = -13$。

したがって、求める余りは $-6x - 13$ である。

3. 最終的な答え

$-6x - 13$