(4) 2次方程式 $(k^2-1)x^2 + 2(k+1)x + 2 = 0$ が重解を持つように、定数 $k$ の値を定める。 (5) 2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。 (2) 2数 $\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\alpha}{\beta}$ を解とする2次方程式を作る。

1. 問題の内容

(4) 2次方程式 $(k^2-1)x^2 + 2(k+1)x + 2 = 0$ が重解を持つように、定数 $k$ の値を定める。

(5) 2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

(2) 2数 $\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\alpha}{\beta}$ を解とする2次方程式を作る。

2. 解き方の手順

(4)

与えられた2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることである。ただし、$k^2 - 1 = 0$ のとき、2次方程式ではなくなる可能性があるため、最初にその場合を検討する。

$k^2 - 1 = 0$ のとき、$k = \pm 1$ である。

$k = 1$ のとき、$4x + 2 = 0$ となり、$x = -\frac{1}{2}$ という解を一つ持つ。

$k = -1$ のとき、$2 = 0$ となり、解なし。

$k \neq \pm 1$ のとき、

判別式 $D = (2(k+1))^2 - 4(k^2 - 1)(2) = 4(k^2 + 2k + 1) - 8(k^2 - 1) = 4k^2 + 8k + 4 - 8k^2 + 8 = -4k^2 + 8k + 12 = 0$

$k^2 - 2k - 3 = 0$

$(k - 3)(k + 1) = 0$

$k = 3, -1$

$k \neq \pm 1$ より、$k = 3$

$k=1, 3$

$k=1$ のとき、$4x+2=0$ より $x=-\frac{1}{2}$

$k=3$ のとき、$8x^2+8x+2=0$ より $4x^2+4x+1=0$, $(2x+1)^2=0$ より $x=-\frac{1}{2}$ (重解)

(5)

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ において、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = \frac{-(-4)}{2} = 2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

(1)

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 2^3 - 3(\frac{1}{2})(2) = 8 - 3 = 5$

(2)

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{2^2 - 2(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{4 - 1}{\frac{1}{2}} = 6$

$\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{\beta} = 1$

求める2次方程式は $x^2 - 6x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(4) $k = 1, 3$

(5) (1) $\alpha^3 + \beta^3 = 5$

(2) $x^2 - 6x + 1 = 0$