複素数の計算問題です。 $\left(\frac{-\sqrt{3}+j}{2-2j}\right)^3$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

$\left(\frac{-\sqrt{3}+j}{2-2j}\right)^3$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子をそれぞれ極形式で表します。

分子 $-\sqrt{3} + j$ の絶対値は $\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ です。偏角は $\arctan(\frac{1}{-\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6}$ です。したがって、

$-\sqrt{3} + j = 2e^{j\frac{5\pi}{6}}$

と表せます。

分母 $2-2j$ の絶対値は $\sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。偏角は $\arctan(\frac{-2}{2}) = -\frac{\pi}{4}$ です。したがって、

$2-2j = 2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}$

と表せます。

したがって、

$\frac{-\sqrt{3}+j}{2-2j} = \frac{2e^{j\frac{5\pi}{6}}}{2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{12}}$

となります。

これを3乗すると、

$\left(\frac{-\sqrt{3}+j}{2-2j}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{12}}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 e^{j\frac{13\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j(\frac{13\pi}{4} - 2\pi \times 1)} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{5\pi}{4}}$

$\frac{5\pi}{4}$ は第3象限の角なので、$\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{5\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\cos(\frac{5\pi}{4}) + j\sin(\frac{5\pi}{4})) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(-\frac{1}{\sqrt{2}} - j\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - j\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{4} - j\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4} - j\frac{1}{4}$

あるいは

$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}j$