画像には複数の問題がありますが、ここでは3番の問題を解きます。 $\alpha = \frac{3+i}{1+i} + \frac{x-i}{1-i}$ が純虚数となるとき、実数 $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

画像には複数の問題がありますが、ここでは3番の問題を解きます。

$\alpha = \frac{3+i}{1+i} + \frac{x-i}{1-i}$ が純虚数となるとき、実数 $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ を計算します。

$\frac{3+i}{1+i}$ を計算します。分母を実数化するために、分母の共役複素数 $1-i$ を分子と分母にかけます。

$\frac{3+i}{1+i} = \frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3 - 3i + i - i^2}{1 - i^2} = \frac{3 - 2i + 1}{1 + 1} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i$

次に、$\frac{x-i}{1-i}$ を計算します。分母を実数化するために、分母の共役複素数 $1+i$ を分子と分母にかけます。

$\frac{x-i}{1-i} = \frac{(x-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{x + xi - i - i^2}{1 - i^2} = \frac{x + xi - i + 1}{1 + 1} = \frac{(x+1) + (x-1)i}{2} = \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{2}i$

$\alpha$ は次のようになります。

$\alpha = 2 - i + \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{2}i = (2 + \frac{x+1}{2}) + (-1 + \frac{x-1}{2})i$

$\alpha$ が純虚数となるためには、実部が0でなければなりません。

$2 + \frac{x+1}{2} = 0$

$\frac{x+1}{2} = -2$

$x+1 = -4$

$x = -5$

最後に、求めた $x$ の値で虚部が0でないことを確認します。

$-1 + \frac{-5-1}{2} = -1 + \frac{-6}{2} = -1 - 3 = -4$

虚部は $-4$ であり、0ではありません。

3. 最終的な答え

$x = -5$