与えられた二次関数について、頂点の座標、軸の方程式、グラフが上に凸か下に凸かを求め、グラフを描く問題です。具体的には、次の4つの関数について考えます。 (1) $y = x^2 + 3$ (2) $y = 2x^2 - 1$ (3) $y = -x^2 - 2$ (4) $y = (x - 2)^2$

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、頂点の座標、軸の方程式、グラフが上に凸か下に凸かを求め、グラフを描く問題です。具体的には、次の4つの関数について考えます。

(1) $y = x^2 + 3$

(2) $y = 2x^2 - 1$

(3) $y = -x^2 - 2$

(4) $y = (x - 2)^2$

2. 解き方の手順

二次関数の標準形は $y = a(x - p)^2 + q$ で表され、頂点の座標は $(p, q)$、軸の方程式は $x = p$ となります。$a > 0$ なら下に凸、$a < 0$ なら上に凸です。

(1) $y = x^2 + 3$

この関数は $y = (x - 0)^2 + 3$ と変形できるので、頂点は $(0, 3)$、軸は $x = 0$ (y軸) です。$x^2$ の係数は1であり、これは正の数なので、下に凸です。

(2) $y = 2x^2 - 1$

この関数は $y = 2(x - 0)^2 - 1$ と変形できるので、頂点は $(0, -1)$、軸は $x = 0$ (y軸) です。$x^2$ の係数は2であり、これは正の数なので、下に凸です。

(3) $y = -x^2 - 2$

この関数は $y = -(x - 0)^2 - 2$ と変形できるので、頂点は $(0, -2)$、軸は $x = 0$ (y軸) です。$x^2$ の係数は-1であり、これは負の数なので、上に凸です。

(4) $y = (x - 2)^2$

この関数は $y = (x - 2)^2 + 0$ と変形できるので、頂点は $(2, 0)$、軸は $x = 2$ です。$x^2$ の係数は1であり、これは正の数なので、下に凸です。

グラフについては、それぞれの頂点を中心にして、上に凸か下に凸かを考慮しながら放物線を描きます。(省略)

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 3$: 頂点 $(0, 3)$、軸 $x = 0$、下に凸

(2) $y = 2x^2 - 1$: 頂点 $(0, -1)$、軸 $x = 0$、下に凸

(3) $y = -x^2 - 2$: 頂点 $(0, -2)$、軸 $x = 0$、上に凸

(4) $y = (x - 2)^2$: 頂点 $(2, 0)$、軸 $x = 2$、下に凸