$a$ を実数とするとき、$x$ の2次方程式 $2x^2 - 3(a-1)x - 2a^2 - a + 1 = 0$ ...(1) について、以下の問いに答える。 1) 因数分解を利用して、2次方程式(1)の解を求めよ。 2) 2次方程式(1)がただ1つの解をもつような $a$ の値とそのときの解をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を実数とするとき、$x$ の2次方程式 $2x^2 - 3(a-1)x - 2a^2 - a + 1 = 0$ ...(1) について、以下の問いに答える。

1) 因数分解を利用して、2次方程式(1)の解を求めよ。

2) 2次方程式(1)がただ1つの解をもつような $a$ の値とそのときの解をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

1)

まず、2次方程式 $2x^2 - 3(a-1)x - 2a^2 - a + 1 = 0$ を因数分解することを試みます。

$-2a^2 - a + 1$ を因数分解すると、$-(2a-1)(a+1)$となります。

したがって、この2次方程式は以下のように変形できます。

$2x^2 - 3(a-1)x - (2a-1)(a+1) = 0$

この式を因数分解することを考えると、次のようになります。

$(2x + (a+1))(x - (2a-1)) = 0$

実際に展開してみると、$2x^2 - (4a-2)x + (a+1)x - (2a-1)(a+1) = 2x^2 -3ax +3x -2a^2-3a-1 = 2x^2 -3(a-1)x -2a^2 -3a - 1=0$

これは元の式と一致しません。

正しくは、

$2x^2-3(a-1)x - (2a-1)(a+1)=0$

$2x^2 - 3(a-1)x + (1-2a)(a+1) = 0$

$(2x + (a+1))(x - (2a-1)) = 2x^2-4ax+2x+ax+a+x-2a^2+a-1 = 2x^2 -3ax+3x -2a^2 - a+1 = 2x^2-3(a-1)x-2a^2-a+1 = 0$

したがって、

$(2x + (a+1))(x - (2a-1)) = 0$

よって、$2x + (a+1) = 0$ または $x - (2a-1) = 0$

$x = -\frac{a+1}{2}$ または $x = 2a-1$

2)

2次方程式がただ1つの解を持つのは、以下の2つのケースです。

ケース1：$2x^2 - 3(a-1)x - 2a^2 - a + 1 = 0$ が重解を持つ場合。

ケース2： $-\frac{a+1}{2} = 2a-1$ の場合。

ケース1: 重解を持つ場合

2次方程式の判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $0$ になるとき、重解を持ちます。

$D = (-3(a-1))^2 - 4(2)(-2a^2-a+1) = 0$

$9(a^2 - 2a + 1) + 8(2a^2 + a - 1) = 0$

$9a^2 - 18a + 9 + 16a^2 + 8a - 8 = 0$

$25a^2 - 10a + 1 = 0$

$(5a-1)^2 = 0$

$a = \frac{1}{5}$

このとき、重解は $x = \frac{3(a-1)}{4} = \frac{3(1/5 - 1)}{4} = \frac{3(-4/5)}{4} = -\frac{3}{5}$

ケース2: $-\frac{a+1}{2} = 2a-1$ の場合

$-a-1 = 4a-2$

$5a = 1$

$a = \frac{1}{5}$

このとき、解は $x = 2a-1 = 2(\frac{1}{5})-1 = -\frac{3}{5}$

したがって、$a = \frac{1}{5}$ のとき、解は $x = -\frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

1) $x = -\frac{a+1}{2}, 2a-1$

2) $a = \frac{1}{5}$ のとき、$x = -\frac{3}{5}$