与えられた二次関数の頂点、軸、グラフの向き(上に凸か下に凸か)を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の頂点、軸、グラフの向き(上に凸か下に凸か)を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数の標準形 $y=a(x-p)^2 + q$ を利用します。このとき、頂点は $(p, q)$、軸は $x=p$ であり、$a>0$ ならば下に凸、$a<0$ ならば上に凸となります。

(5) $y = 2(x+1)^2$

この式は $y=2(x-(-1))^2 + 0$ と変形できます。

* 頂点: $(-1, 0)$

* 軸: $x = -1$

* $a = 2 > 0$ なので、下に凸

(6) $y = -(x-3)^2$

この式は $y = -1(x-3)^2 + 0$ と変形できます。

* 頂点: $(3, 0)$

* 軸: $x = 3$

* $a = -1 < 0$ なので、上に凸

(7) $y = -2(x+2)^2$

この式は $y=-2(x-(-2))^2 + 0$ と変形できます。

* 頂点: $(-2, 0)$

* 軸: $x = -2$

* $a = -2 < 0$ なので、上に凸

(8) $y = (x-1)^2 + 2$

この式は $y = 1(x-1)^2 + 2$ と変形できます。

* 頂点: $(1, 2)$

* 軸: $x = 1$

* $a = 1 > 0$ なので、下に凸

(9) $y = 2(x-2)^2 - 4$

* 頂点: $(2, -4)$

* 軸: $x = 2$

* $a = 2 > 0$ なので、下に凸

(10) $y = -2(x+1)^2 + 2$

この式は $y = -2(x-(-1))^2 + 2$ と変形できます。

* 頂点: $(-1, 2)$

* 軸: $x = -1$

* $a = -2 < 0$ なので、上に凸

3. 最終的な答え

(5) 頂点: $(-1, 0)$、軸: $x = -1$、下に凸

(6) 頂点: $(3, 0)$、軸: $x = 3$、上に凸

(7) 頂点: $(-2, 0)$、軸: $x = -2$、上に凸

(8) 頂点: $(1, 2)$、軸: $x = 1$、下に凸

(9) 頂点: $(2, -4)$、軸: $x = 2$、下に凸

(10) 頂点: $(-1, 2)$、軸: $x = -1$、上に凸