初項から第3項までの和が3、第3項から第5項までの和が12である等比数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が3、第3項から第5項までの和が12である等比数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とします。

初項から第3項までの和は$a + ar + ar^2 = 3$と表せます。

第3項から第5項までの和は$ar^2 + ar^3 + ar^4 = 12$と表せます。

$ar^2 + ar^3 + ar^4 = r^2(a + ar + ar^2)$なので、

$r^2(a + ar + ar^2) = 12$となります。

$a + ar + ar^2 = 3$を代入すると、

$3r^2 = 12$となります。

$r^2 = 4$より、$r = \pm 2$です。

(i) $r = 2$のとき

$a + 2a + 4a = 3$

$7a = 3$

$a = \frac{3}{7}$

したがって、一般項は$a_n = \frac{3}{7} \cdot 2^{n-1}$です。

(ii) $r = -2$のとき

$a - 2a + 4a = 3$

$3a = 3$

$a = 1$

したがって、一般項は$a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$です。

3. 最終的な答え

一般項は $a_n = \frac{3}{7} \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = (-2)^{n-1}$ です。