$A$ が正則な行列であるとき、$^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$A$ が正則な行列であるとき、$^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ が正則であるという仮定から、$A^{-1}$ が存在します。

次に、$^tA$ が正則であることを示すためには、$^tA$ の逆行列が存在することを示せばよいです。

逆行列の定義から、$^tA$ にある行列をかけた結果が単位行列 $E$ になれば、その行列が $^tA$ の逆行列となります。

示すべき式は $(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ ですので、これが実際に $^tA$ の逆行列となっていることを確認します。

つまり、以下の2つの式が成り立つことを示します。

$^tA \cdot ^t(A^{-1}) = E$

$^t(A^{-1}) \cdot ^tA = E$

転置の性質として、$(AB)^t = ^tB \cdot ^tA$ があります。

これを利用すると、

$^tA \cdot ^t(A^{-1}) = ^t(A^{-1}A) = ^tE = E$

$^t(A^{-1}) \cdot ^tA = ^t(AA^{-1}) = ^tE = E$

となります。

したがって、$^t(A^{-1})$ は $^tA$ の逆行列であり、$^tA$ は正則であることが示されました。

3. 最終的な答え

$A$ が正則な行列のとき、$^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ である。