正の整数 $n$ に対して、$A^n = O$ を満たす行列 $A$ について、以下の問いに答えます。ここで、$E$ は単位行列、$O$ は零行列を表します。 (1) $(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})$ を計算し、簡単にせよ。 (2) $(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})(E-A)$ を計算し、簡単にせよ。 (3) $E-A$ が正則であることを証明し、その逆行列を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$A^n = O$ を満たす行列 $A$ について、以下の問いに答えます。ここで、$E$ は単位行列、$O$ は零行列を表します。

(1) $(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})$ を計算し、簡単にせよ。

(2) $(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})(E-A)$ を計算し、簡単にせよ。

(3) $E-A$ が正則であることを証明し、その逆行列を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})$ を展開します。

$(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}) = E(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}) - A(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})$

$= (E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}) - (A+A^2+A^3+\cdots+A^n)$

$= E + (A-A) + (A^2-A^2) + \cdots + (A^{n-1} - A^{n-1}) - A^n$

$= E - A^n$

条件より $A^n = O$ なので、

$= E - O = E$

(2) $(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})(E-A)$ を展開します。

$(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})(E-A) = (E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})E - (E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})A$

$= (E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}) - (A+A^2+A^3+\cdots+A^n)$

$= E + (A-A) + (A^2-A^2) + \cdots + (A^{n-1} - A^{n-1}) - A^n$

$= E - A^n$

条件より $A^n = O$ なので、

$= E - O = E$

(3) (1)または(2)より、

$(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}) = E$

$(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})(E-A) = E$

であるから、$E-A$ は正則であり、その逆行列は $E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $E$

(2) $E$

(3) $E-A$ は正則であり、その逆行列は $E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}$ である。