与えられた式において、$a$, $b$, $c$ の値を求めよ。 $\frac{x^2}{x^3-3x+2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた式において、$a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

$\frac{x^2}{x^3-3x+2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+2}$

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母を因数分解する。

$x^3-3x+2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$

よって、

$\frac{x^2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+2}$

両辺に $(x-1)^2(x+2)$ をかける。

$x^2 = a(x-1)(x+2) + b(x+2) + c(x-1)^2$

$x^2 = a(x^2+x-2) + b(x+2) + c(x^2-2x+1)$

$x^2 = ax^2+ax-2a + bx+2b + cx^2-2cx+c$

$x^2 = (a+c)x^2 + (a+b-2c)x + (-2a+2b+c)$

係数を比較して、

$a+c = 1$

$a+b-2c = 0$

$-2a+2b+c = 0$

3つの式を解いて、$a,b,c$ を求める。

第1式より、$c = 1-a$

これを第2, 3式に代入

$a+b-2(1-a) = 0$

$-2a+2b+(1-a) = 0$

$3a+b = 2$

$-3a+2b = -1$

2つの式を足すと $3b = 1$ となり、$b = \frac{1}{3}$

$3a + \frac{1}{3} = 2$

$3a = \frac{5}{3}$

$a = \frac{5}{9}$

$c = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{9}$, $b = \frac{1}{3}$, $c = \frac{4}{9}$