与えられた6つの連立一次方程式を消去法を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた6つの連立一次方程式を消去法を用いて解く。

2. 解き方の手順

以下では、各連立方程式を解く手順を示す。

(1)

与えられた連立方程式は

$x + 4y = 3$

$2x + 3y = -4$

1つ目の式を2倍すると $2x + 8y = 6$ となり、2つ目の式からこれを引くと $5y = 10$ となる。

したがって $y = 2$ である。

これを1つ目の式に代入すると $x + 4(2) = 3$ となり、$x + 8 = 3$ なので $x = -5$ となる。

(2)

与えられた連立方程式は

$2x + 3y = 2$

$6x + 7y = 2$

1つ目の式を3倍すると $6x + 9y = 6$ となり、2つ目の式からこれを引くと $-2y = -4$ となる。

したがって $y = 2$ である。

これを1つ目の式に代入すると $2x + 3(2) = 2$ となり、$2x + 6 = 2$ なので $2x = -4$ となり、$x = -2$ となる。

(3)

与えられた連立方程式は

$x - 2y - z = -2$

$2x - 3y - 3z = 1$

$3x - 5y - 5z = 0$

1つ目の式を2倍すると $2x - 4y - 2z = -4$ となり、2つ目の式からこれを引くと $y + z = 5$ となる。

1つ目の式を3倍すると $3x - 6y - 3z = -6$ となり、3つ目の式からこれを引くと $y + 2z = 6$ となる。

$y + z = 5$ と $y + 2z = 6$ を連立させて解く。

$y + 2z = 6$ から $y + z = 5$ を引くと $z = 1$ となる。

$y + z = 5$ に $z = 1$ を代入すると $y + 1 = 5$ となり、$y = 4$ となる。

$x - 2y - z = -2$ に $y = 4$ と $z = 1$ を代入すると $x - 2(4) - 1 = -2$ となり、$x - 8 - 1 = -2$ なので $x - 9 = -2$ となり、$x = 7$ となる。

(4)

与えられた連立方程式は

$x + y - 3z = -2$

$2x + y - 5z = -1$

$3x + y - 7z = 0$

2つ目の式から1つ目の式を引くと $x - 2z = 1$ となる。

3つ目の式から1つ目の式を引くと $2x - 4z = 2$ となる。

これは $x - 2z = 1$ と同じ式なので、独立な式が2つしかないため解が一意に定まらない。

$x = 1 + 2z$ を1つ目の式に代入すると

$1 + 2z + y - 3z = -2$

$y - z = -3$

$y = z - 3$

よって、$x = 1 + 2z$, $y = z - 3$ である。

(5)

与えられた連立方程式は

$2x - 5y - 6z = 1$

$x - 2y - 2z = 1$

$4x - 3y + 2z = 6$

2つ目の式を2倍すると $2x - 4y - 4z = 2$ となり、1つ目の式からこれを引くと $-y - 2z = -1$ となる。よって $y = 1 - 2z$ である。

2つ目の式を4倍すると $4x - 8y - 8z = 4$ となり、3つ目の式からこれを引くと $5y + 10z = 2$ となる。

$y = 1 - 2z$ を $5y + 10z = 2$ に代入すると $5(1 - 2z) + 10z = 2$ となり、$5 - 10z + 10z = 2$ なので $5 = 2$ となり矛盾が生じる。したがって解なしである。

(6)

与えられた連立方程式は

$4x + y - 2z = 0$

$3x + 3y - z = 0$

$x + 2y = 0$

3つ目の式より $x = -2y$ である。

これを1つ目の式に代入すると $4(-2y) + y - 2z = 0$ となり、$-8y + y - 2z = 0$ なので $-7y - 2z = 0$ となる。

これを2つ目の式に代入すると $3(-2y) + 3y - z = 0$ となり、$-6y + 3y - z = 0$ なので $-3y - z = 0$ となる。

$-7y - 2z = 0$ と $-3y - z = 0$ を連立させる。

$-3y - z = 0$ より $z = -3y$ である。

$-7y - 2z = 0$ に $z = -3y$ を代入すると $-7y - 2(-3y) = 0$ となり、$-7y + 6y = 0$ なので $-y = 0$ となり $y = 0$ である。

したがって $x = -2y = 0$ であり、$z = -3y = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = -5$, $y = 2$

(2) $x = -2$, $y = 2$

(3) $x = 7$, $y = 4$, $z = 1$

(4) $x = 1 + 2z$, $y = z - 3$

(5) 解なし

(6) $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$