正の実数 $a$ が与えられたとき、次の2つの不等式を同時に満たす点 $(x, y)$ 全体からなる領域を $D$ とする。 $y \geq x^2$ $y \leq -2x^2 + 3ax + 6a^2$ 領域 $D$ における $x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

正の実数 $a$ が与えられたとき、次の2つの不等式を同時に満たす点 $(x, y)$ 全体からなる領域を $D$ とする。

$y \geq x^2$

$y \leq -2x^2 + 3ax + 6a^2$

領域 $D$ における $x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を消去して $x$ の範囲を求める。

$x^2 \leq -2x^2 + 3ax + 6a^2$

$3x^2 - 3ax - 6a^2 \leq 0$

$x^2 - ax - 2a^2 \leq 0$

$(x - 2a)(x + a) \leq 0$

$-a \leq x \leq 2a$

次に、$k = x + y$ とおき、$y = k - x$ とする。これを不等式に代入し、$k$ の範囲を求める。

$k - x \geq x^2$ より、$k \geq x^2 + x$

$k - x \leq -2x^2 + 3ax + 6a^2$ より、$k \leq -2x^2 + (3a + 1)x + 6a^2$

$y = k - x$ が領域 $D$ に存在するための条件を考える。

$x^2 \leq k - x \leq -2x^2 + 3ax + 6a^2$

$x^2 + x \leq k$

$k \leq -2x^2 + (3a + 1)x + 6a^2$

この範囲で、$k$ の最大値と最小値を求める。

$y=x^2$と$y = -2x^2 + 3ax + 6a^2$の交点の$x$座標は、$x=-a, 2a$である。

領域$D$は、$x$が$-a$から$2a$まで変化するときに存在する。

$k = x+y$について、$y \geq x^2$より、$k \geq x+x^2 = (x + 1/2)^2 - 1/4$

$-a \leq x \leq 2a$において、$x=-a$のとき$k \geq a^2 - a$、$x=2a$のとき$k \geq 4a^2+2a$

$x=-1/2$が含まれていれば$x=-1/2$のとき$k \geq -1/4$となり、$x=-1/2$が含まれていなければ$x=-a$のとき最小値となる。

$x+y = k$とおくと、$y = k - x$。

$x^2 \le k-x$　と $k-x \le -2x^2 + 3ax + 6a^2$ を満たす。

$f(x) = -2x^2 + (3a+1)x + 6a^2$とおくと、$f'(x) = -4x + 3a+1$より、$x = (3a+1)/4$のとき、$f(x)$は最大となる。

$f((3a+1)/4) = -2(9a^2 + 6a+1)/16 + (3a+1)^2/4 + 6a^2 = (-9a^2-6a-1)/8 + (9a^2 + 6a+1)/4 + 6a^2 = \frac{-9a^2-6a-1+18a^2+12a+2+96a^2}{8} = \frac{105a^2+6a+1}{8}$

$k = f((3a+1)/4) = \frac{105a^2+6a+1}{8}$

また、$g(x) = x^2+x$とおくと、$g(x)$は、$x=(3a+1)/4$で最小となるとは限らない。

$x=2a$のとき、$k = 4a^2+3a$

$x=-a$のとき、$k = a^2 - a$

次に$x+y$の最小値を求める。

$x=-a, y = a^2$のとき$x+y = a^2 - a$

$x=2a, y = 4a^2$のとき$x+y = 4a^2 + 2a$

$y = -2x^2 + 3ax + 6a^2$で$x=-a$のとき$y=-2a^2 -3a^2 + 6a^2 = a^2$

$x=2a$のとき$y=-8a^2 + 6a^2 + 6a^2 = 4a^2$

$y=x^2$と$y=-2x^2 + 3ax + 6a^2$の交点の座標は、$(-a, a^2), (2a, 4a^2)$

$x+y = k$とおくと、$y = k-x$

$x^2 \le k-x \le -2x^2 + 3ax + 6a^2$

$x^2+x \le k$

$k \le -2x^2+3ax+x+6a^2$

$x^2+x$の最小値は$x=-a$のときで$a^2 - a$

$-2x^2+(3a+1)x+6a^2$の最大値は$x=\frac{3a+1}{4}$のときで$\frac{105a^2+6a+1}{8}$

最小値:$a^2-a$、最大値:$\frac{105a^2+6a+1}{8}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{105a^2 + 6a + 1}{8}$

最小値: $a^2 - a$