(5) 1次不等式 $3x - 4 \ge 5x + 6$ の解を求めます。 (6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x + 9 > 2x + 1 \\ 3x - 7 \ge 8x - 12 \end{cases}$ の解を求めます。 (7) 実数 $x$ について、「$x^2 = 11$」が「$x = \sqrt{11}$」であるための必要条件、十分条件の判定をします。

1. 問題の内容

(5) 1次不等式 $3x - 4 \ge 5x + 6$ の解を求めます。

(6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x + 9 > 2x + 1 \\ 3x - 7 \ge 8x - 12 \end{cases}$ の解を求めます。

(7) 実数 $x$ について、「$x^2 = 11$」が「$x = \sqrt{11}$」であるための必要条件、十分条件の判定をします。

2. 解き方の手順

(5) 1次不等式を解きます。

$3x - 4 \ge 5x + 6$

$-2x \ge 10$

$x \le -5$

(6) 連立不等式をそれぞれ解きます。

$6x + 9 > 2x + 1$

$4x > -8$

$x > -2$

$3x - 7 \ge 8x - 12$

$-5x \ge -5$

$x \le 1$

よって、連立不等式の解は $-2 < x \le 1$

(7)

「$x^2 = 11$」ならば「$x = \sqrt{11}$」を考えます。

$x^2 = 11$ を満たす実数 $x$ は $x = \sqrt{11}$ または $x = -\sqrt{11}$ です。

したがって、$x^2 = 11$ ならば必ず $x = \sqrt{11}$ とは言えません。よって、十分条件ではありません。

「$x = \sqrt{11}$」ならば「$x^2 = 11$」を考えます。

$x = \sqrt{11}$ ならば $x^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$ となり、$x^2 = 11$ を満たします。

したがって、$x = \sqrt{11}$ ならば必ず $x^2 = 11$ と言えます。よって、必要条件です。

以上より、「$x^2 = 11$」は「$x = \sqrt{11}$」であるための必要条件ではないが、十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

(5) $x \le -5$

(6) $-2 < x \le 1$

(7) ② 必要条件であるが十分条件でない