与えられた連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。問題は全部で4つあります。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。問題は全部で4つあります。

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列の行列式と、一部の列を定数項に置き換えた行列の行列式の比で表す公式です。

(1)

与えられた連立方程式は

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

です。

係数行列の行列式 $D$ は

$$

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(-2) = -1 + 4 = 3

$$

$x$ の解を求めるために、$D$ の第1列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_x$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-4)(-1) - (2)(3) = 4 - 6 = -2

$$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{3}$

$y$ の解を求めるために、$D$ の第2列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_y$ を計算します。

$$

D_y = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-4)(-2) = 3 - 8 = -5

$$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{3}$

(2)

与えられた連立方程式は

$$

\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}

$$

です。

係数行列は

$$

\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

$$

なので、行列式 $D$ は

$$

D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (2)(1) = -6 - 2 = -8

$$

$x$ の解を求めるために、$D$ の第1列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_x$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (2)(8) = 0 - 16 = -16

$$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-16}{-8} = 2$

$y$ の解を求めるために、$D$ の第2列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_y$ を計算します。

$$

D_y = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (0)(1) = 24 - 0 = 24

$$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{24}{-8} = -3$

(3)

与えられた連立方程式は

$$

\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}

$$

です。

係数行列は

$$

\begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

$$

なので、行列式 $D$ は

$$

D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(1-0) - 1(0-2) + 3(0-(-1)) = 3(1) - 1(-2) + 3(1) = 3 + 2 + 3 = 8

$$

$x$ の解を求めるために、$D$ の第1列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_x$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 1(-2-(-4)) + 3(0-2) = 1(1) - 1(2) + 3(-2) = 1 - 2 - 6 = -7

$$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-7}{8}$

$y$ の解を求めるために、$D$ の第2列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_y$ を計算します。

$$

D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3(-2-(-4)) - 1(0-2) + 3(0-2) = 3(2) - 1(-2) + 3(-2) = 6 + 2 - 6 = 2

$$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$z$ の解を求めるために、$D$ の第3列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_z$ を計算します。

$$

D_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(2-0) - 1(0-2) + 1(0-(-1)) = 3(2) - 1(-2) + 1(1) = 6 + 2 + 1 = 9

$$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{8}$

(4)

与えられた連立方程式は

$$

\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

$$

です。

係数行列の行列式 $D$ は

$$

D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-2-2) - 3(1-2) - 1(-1-2) = 2(-4) - 3(-1) - 1(-3) = -8 + 3 + 3 = -2

$$

$x$ の解を求めるために、$D$ の第1列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_x$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -3\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -3(-2-2) - 3(-1-(-4)) - 1(1-(-4)) = -3(-4) - 3(3) - 1(5) = 12 - 9 - 5 = -2

$$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1$

$y$ の解を求めるために、$D$ の第2列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_y$ を計算します。

$$

D_y = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2(-1-(-4)) + 3(1-2) - 1(2-1) = 2(3) + 3(-1) - 1(1) = 6 - 3 - 1 = 2

$$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{-2} = -1$

$z$ の解を求めるために、$D$ の第3列を定数項で置き換えた行列の行列式 $D_z$ を計算します。

$$

D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (-3)\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-4-1) - 3(2-1) - 3(-1-2) = 2(-5) - 3(1) - 3(-3) = -10 - 3 + 9 = -4

$$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{-2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{2}{3}$, $y = -\frac{5}{3}$

(2) $x = 2$, $y = -3$

(3) $x = -\frac{7}{8}$, $y = \frac{1}{4}$, $z = \frac{9}{8}$

(4) $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$