与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。具体的には、以下の8つの問題があります。 (1) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = a_n + 3$ (2) $a_1 = -3, \quad a_{n+1} = a_n - 2$ (3) $a_1 = 4, \quad a_{n+1} = a_n - 5$ (4) $a_1 = 3, \quad a_{n+1} = 2a_n$ (5) $a_1 = 4, \quad a_{n+1} = -3a_n$ (6) $a_1 = -2, \quad a_{n+1} - 2a_n = 0$ (7) $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = a_n + 2n$ (8) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = a_n - 3n^2$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。具体的には、以下の8つの問題があります。

(1) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = a_n + 3$

(2) $a_1 = -3, \quad a_{n+1} = a_n - 2$

(3) $a_1 = 4, \quad a_{n+1} = a_n - 5$

(4) $a_1 = 3, \quad a_{n+1} = 2a_n$

(5) $a_1 = 4, \quad a_{n+1} = -3a_n$

(6) $a_1 = -2, \quad a_{n+1} - 2a_n = 0$

(7) $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = a_n + 2n$

(8) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = a_n - 3n^2$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 3$ より、公差が3の等差数列である。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$

(2) $a_{n+1} = a_n - 2$ より、公差が-2の等差数列である。

$a_n = a_1 + (n-1)d = -3 + (n-1)(-2) = -2n - 1$

(3) $a_{n+1} = a_n - 5$ より、公差が-5の等差数列である。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)(-5) = -5n + 9$

(4) $a_{n+1} = 2a_n$ より、公比が2の等比数列である。

$a_n = a_1 r^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$

(5) $a_{n+1} = -3a_n$ より、公比が-3の等比数列である。

$a_n = a_1 r^{n-1} = 4 \cdot (-3)^{n-1}$

(6) $a_{n+1} = 2a_n$ より、公比が2の等比数列である。

$a_n = a_1 r^{n-1} = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$

(7) $a_{n+1} = a_n + 2n$

階差数列を考えると、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2n$ となる。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 5 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 5 + n(n-1) = n^2 - n + 5$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 5 = 5$ となり、成り立つ。

よって、$a_n = n^2 - n + 5$

(8) $a_{n+1} = a_n - 3n^2$

階差数列を考えると、$b_n = a_{n+1} - a_n = -3n^2$ となる。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3k^2) = 2 - 3 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 2 - 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 2 - \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} = 2 - \frac{(n-1)(2n^2-n)}{2} = 2 - \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{2} = \frac{4 - 2n^3 + 3n^2 - n}{2} = -n^3 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = -1 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 = -1 + 1 + 2 = 2$ となり、成り立つ。

よって、$a_n = -n^3 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2 = \frac{-2n^3 + 3n^2 - n + 4}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - 1$

(2) $a_n = -2n - 1$

(3) $a_n = -5n + 9$

(4) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(5) $a_n = 4 \cdot (-3)^{n-1}$

(6) $a_n = -2^n$

(7) $a_n = n^2 - n + 5$

(8) $a_n = \frac{-2n^3 + 3n^2 - n + 4}{2}$