与えられた連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。具体的には以下の4つの連立方程式を解きます。 (1) $\begin{cases} x + 2y = -4 \\ -2x - y = 3 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}$ (4) $\begin{cases} 2x + 3y - z = -3 \\ -x + 2y + 2z = 1 \\ x + y - z = -2 \end{cases}$

はい、承知いたしました。クラメルの公式を用いて、与えられた連立方程式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。具体的には以下の4つの連立方程式を解きます。

(1)

$\begin{cases}

x + 2y = -4 \\

-2x - y = 3

\end{cases}$

(2)

$\begin{cases}

3x + 2y = 0 \\

x - 2y = 8

\end{cases}$

(3)

$\begin{cases}

3x + y + 3z = 1 \\

-y + 2z = 2 \\

x - z = -2

\end{cases}$

(4)

$\begin{cases}

2x + 3y - z = -3 \\

-x + 2y + 2z = 1 \\

x + y - z = -2

\end{cases}$

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列と、係数行列の一つの列を定数ベクトルで置き換えた行列の行列式を使って表す公式です。

(1) の手順:

係数行列 $A$ を以下のように定義します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = (1)(-1) - (2)(-2) = -1 + 4 = 3$

$x$ について解くために、$A$ の1列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_x$ を以下のように定義します。

$A_x = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

$A_x$ の行列式 $|A_x|$ は、

$|A_x| = (-4)(-1) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

$y$ について解くために、$A$ の2列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_y$ を以下のように定義します。

$A_y = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

$A_y$ の行列式 $|A_y|$ は、

$|A_y| = (1)(3) - (-4)(-2) = 3 - 8 = -5$

クラメルの公式より、

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-2}{3}$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-5}{3}$

(2) の手順:

係数行列 $A$ を以下のように定義します。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = (3)(-2) - (2)(1) = -6 - 2 = -8$

$x$ について解くために、$A$ の1列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_x$ を以下のように定義します。

$A_x = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

$A_x$ の行列式 $|A_x|$ は、

$|A_x| = (0)(-2) - (2)(8) = 0 - 16 = -16$

$y$ について解くために、$A$ の2列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_y$ を以下のように定義します。

$A_y = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}$

$A_y$ の行列式 $|A_y|$ は、

$|A_y| = (3)(8) - (0)(1) = 24 - 0 = 24$

クラメルの公式より、

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-16}{-8} = 2$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{24}{-8} = -3$

(3) の手順:

連立方程式を行列の形で書き換えます。

$\begin{cases}

3x + y + 3z = 1 \\

0x - y + 2z = 2 \\

x + 0y - z = -2

\end{cases}$

係数行列 $A$ を以下のように定義します。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = 3((-1)(-1) - (2)(0)) - 1((0)(-1) - (2)(1)) + 3((0)(0) - (-1)(1)) = 3(1) - 1(-2) + 3(1) = 3 + 2 + 3 = 8$

$x$ について解くために、$A$ の1列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_x$ を以下のように定義します。

$A_x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$A_x$ の行列式 $|A_x|$ は、

$|A_x| = 1((-1)(-1) - (2)(0)) - 1((2)(-1) - (2)(-2)) + 3((2)(0) - (-1)(-2)) = 1(1) - 1(2) + 3(-2) = 1 - 2 - 6 = -7$

$y$ について解くために、$A$ の2列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_y$ を以下のように定義します。

$A_y = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$A_y$ の行列式 $|A_y|$ は、

$|A_y| = 3((2)(-1) - (2)(-2)) - 1((0)(-1) - (2)(1)) + 3((0)(-2) - (2)(1)) = 3(2) - 1(-2) + 3(-2) = 6 + 2 - 6 = 2$

$z$ について解くために、$A$ の3列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_z$ を以下のように定義します。

$A_z = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

$A_z$ の行列式 $|A_z|$ は、

$|A_z| = 3((-1)(-2) - (2)(0)) - 1((0)(-2) - (2)(1)) + 1((0)(0) - (-1)(1)) = 3(2) - 1(-2) + 1(1) = 6 + 2 + 1 = 9$

クラメルの公式より、

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-7}{8}$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{9}{8}$

(4) の手順:

係数行列 $A$ を以下のように定義します。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = 2((2)(-1) - (2)(1)) - 3((-1)(-1) - (2)(1)) + (-1)((-1)(1) - (2)(1)) = 2(-4) - 3(-1) + (-1)(-3) = -8 + 3 + 3 = -2$

$x$ について解くために、$A$ の1列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_x$ を以下のように定義します。

$A_x = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$A_x$ の行列式 $|A_x|$ は、

$|A_x| = -3((2)(-1) - (2)(1)) - 3((1)(-1) - (2)(-2)) + (-1)((1)(1) - (2)(-2)) = -3(-4) - 3(3) + (-1)(5) = 12 - 9 - 5 = -2$

$y$ について解くために、$A$ の2列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_y$ を以下のように定義します。

$A_y = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$A_y$ の行列式 $|A_y|$ は、

$|A_y| = 2((1)(-1) - (2)(-2)) - (-3)((-1)(-1) - (2)(1)) + (-1)((-1)(-2) - (1)(1)) = 2(3) - (-3)(-1) + (-1)(1) = 6 - 3 - 1 = 2$

$z$ について解くために、$A$ の3列目を定数ベクトルで置き換えた行列 $A_z$ を以下のように定義します。

$A_z = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$A_z$ の行列式 $|A_z|$ は、

$|A_z| = 2((2)(-2) - (1)(1)) - 3((-1)(-2) - (1)(1)) + (-3)((-1)(1) - (2)(1)) = 2(-5) - 3(1) + (-3)(-3) = -10 - 3 + 9 = -4$

クラメルの公式より、

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-2}{-2} = 1$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{2}{-2} = -1$

$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-4}{-2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{2}{3}, y = -\frac{5}{3}$

(2) $x = 2, y = -3$

(3) $x = -\frac{7}{8}, y = \frac{1}{4}, z = \frac{9}{8}$

(4) $x = 1, y = -1, z = 2$