与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を使用できます。ここでは、第1行に関する余因子展開を行うことにします。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i,j)$ 成分に関する余因子です。したがって、

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0) = -1+1+1 = 1$

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0-1) - 0(0-1) + 1(1-1) = -1 + 0 + 0 = -1$

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 0(1-0) + 1(1-1) = 1 + 0 + 0 = 1$

したがって、$C_{12} = -1$, $C_{13} = -1$, $C_{14} = -1$です。

したがって、元の行列の行列式は $0 - 1 - 1 - 1 = -3$ です。

別解として、各行に1を加えることを考える。各行の和は3になるので、3が固有値になる。また、$rank(A+I)=4$であるため、$A+I$は正則である。ここで、$A$ は与えられた行列である。

$A+I=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$J$を全ての要素が1の行列とする。

$A = J - I$

$det(A) = det(J-I)$

固有値は3,-1,-1,-1なので、行列式は3*(-1)*(-1)*(-1)=-3

3. 最終的な答え

-3