与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1：2行目から1行目の2倍を引く（$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$）、3行目から1行目の2倍を引く（$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$）、4行目から1行目を引く（$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$）

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

ステップ2：3行目から2行目を引く（$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$）

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

ステップ3：4行目と2行目を入れ替える（$R_4 \leftrightarrow R_2$）

行を入れ替えると行列式の符号が変わることに注意。

$-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

ステップ4：4行目から2行目の2倍を引く（$R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$）

$-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \end{vmatrix}$

ステップ5：4行目から3行目の5倍を引く（$R_4 \rightarrow R_4 - 5R_3$）

$-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{vmatrix}$

ステップ6：上三角行列の行列式は対角成分の積であるため、行列式は

$-(1)(1)(-1)(-10) = -10$

3. 最終的な答え

-10