$a_1, ..., a_n, b$ を $\mathbb{R}^m$ のベクトルとし、$A = [a_1, ..., a_n]$ を $m \times n$ 行列とします。このとき、以下の3つの条件が同値であることを示す問題です。 (1) $\dim \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \dim \langle a_1, ..., a_n \rangle$ (2) $b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せる (3) 連立方程式 $Ax = b$ は解をもつ

1. 問題の内容

$a_1, ..., a_n, b$ を $\mathbb{R}^m$ のベクトルとし、$A = [a_1, ..., a_n]$ を $m \times n$ 行列とします。このとき、以下の3つの条件が同値であることを示す問題です。

(1) $\dim \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \dim \langle a_1, ..., a_n \rangle$

(2) $b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せる

(3) 連立方程式 $Ax = b$ は解をもつ

2. 解き方の手順

条件の同値性を示すために、(1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1) の順に証明を行います。

(1) $\Rightarrow$ (2):

$\dim \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \dim \langle a_1, ..., a_n \rangle$ であると仮定します。

$\langle a_1, ..., a_n \rangle$ を $V$ とおくと、$V$ は $\mathbb{R}^m$ の部分空間です。

$\dim \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \dim V$ より、$\langle a_1, ..., a_n, b \rangle = V$ が成り立ちます。

したがって、$b \in \langle a_1, ..., a_n \rangle$ となり、$b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せます。

(2) $\Rightarrow$ (3):

$b$ が $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せると仮定します。つまり、あるスカラー $x_1, ..., x_n$ が存在して、

$b = x_1 a_1 + x_2 a_2 + ... + x_n a_n$

と表せます。これをベクトルと行列の形式で書くと、

$b = [a_1, ..., a_n] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = Ax$

となります。ここで、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ とおくと、$Ax = b$ が成り立ちます。

したがって、連立方程式 $Ax = b$ は解 $x$ を持ちます。

(3) $\Rightarrow$ (1):

連立方程式 $Ax = b$ が解を持つと仮定します。つまり、$Ax = b$ となるベクトル $x$ が存在します。

このとき、$b = Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + ... + x_n a_n$ と表せるので、$b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せます。

したがって、$b \in \langle a_1, ..., a_n \rangle$ が成り立ち、$\langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \langle a_1, ..., a_n \rangle$ となります。

したがって、$\dim \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \dim \langle a_1, ..., a_n \rangle$ が成り立ちます。

以上の証明により、(1), (2), (3) は同値であることが示されました。

3. 最終的な答え

(1), (2), (3) は同値である。