次の式の値を計算し、$\square + \square \sqrt{\square}$ の形式で表す問題です。 $\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

次の式の値を計算し、$\square + \square \sqrt{\square}$ の形式で表す問題です。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を計算します。

第1項の分母を有理化します。分母と分子に $2+\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

第2項の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

2つの項を足し合わせます。

$2+\sqrt{3} + 2+\sqrt{3} = 4+2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$4+2\sqrt{3}$